از آنجا که انرژی کرنشی هر المان، به عنوان خروجی نرم افزار المان محدود در اختیار کاربر قرار داده می­ شود، بنابراین با انتخاب روش انرژی کرنشی، نیاز به محاسبه حساسیت المان­ها به طور مجزا نداریم و این امر مزیتی بسیار مهم به شمار می­رود.

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

۴-۶ تعیین توپولوژی سلول پایه
به منظور تعیین توپولوژی سلول پایه از روش بهینه­سازی تکاملی دوجهته–مرگ نرم، استفاده می­کنیم. مطابق این روش، همزمان با اضافه کردن المان­ها در نواحی بحرانی، می­توانیم با حذف المانها­ی زاید یا پوچ در نواحی غیر­بحرانی به طرح بهینه دست یابیم. در این روش به­منظور حذف مشکلاتی نظیر شطرنجی شدن و یا وابستگی پاسخ ها به اندازه مش، که عمدتا در مسایل بهینه سازی توپولوژی وجود دارد راهکاری ارائه شده است. بدین نحو که با بهره گرفتن از فاکتور وزن خطی، که وابسته به فاصله المانها از یکدیگر است، حساسیت بهبود یافته­ای برای المان­ها مطابق رابطه (۳-۴)، به­دست می ­آید. همچنین به­منظور همگرایی پاسخ­ها مطابق رابطه (۳-۵) از متوسط حساسیت بهبود یافته و حساسیت مرحله قبلی استفاده می­کنیم. معیار پوچی را نیز با توجه به حجم سلول پایه و مطابق رابطه (۳-۶) محاسبه می­کنیم. پس از محاسبه معیار پوچی، تعیین المان­های مادی و پوچ مرحله بعد کار پیچیده­ای به نظر نمی­رسد. زیرا المان­هایی با حساسیت کمتر از معیار پوچی تبدیل به المان­های پوچ و المان­هایی با حساسیت بیشتر از آن، تبدیل به المان­های مادی می­شوند. مراحل ذکر شده را تا زمانی ادامه می­دهیم که قید حجمی ارضا شود و همزمان تغییرات تابع هدف در مراحل پایانی به حد کافی کوچک باشد. بنابراین به­ طور خلاصه مراحل طراحی سلول پایه بدین شرح است:
مرحله اول : انتخاب پارامترهای بهینه­سازی، از قبیل قید حجمی، نرخ تکامل و شعاع فیلتر.
مرحله دوم : اعمال آنالیز المان محدود.
مرحله سوم : تعیین خواص موثر الاستیک سلول پایه با کمک روش انرژی کرنشی.
مرحله چهارم : تعیین حساسیت المان­ها با کمک رابطه (۴-۶).
مرحله پنجم : اعمال فیلتر حساسیت و تعیین حساسیت بهبود یافته المان­ها با بهره گرفتن از رابطه (۳-۴).
مرحله ششم : به­کار­گیری متوسط حساسیت المان­ها طبق رابطه (۳-۵).
مرحله هفتم : تعیین معیار پوچی برای تشخیص المان­های مادی و پوچ مرحله بعد با کمک قید حجمی و رابطه (۳-۶).
مرحله هشتم : تکرار مراحل فوق، تا زمانی که قید حجمی و معیار همگرایی طبق رابطه (۳-۷) ارضا شوند.
پس از پایان بهینه­سازی توپولوژی، به منظور اطمینان از صحت نتایج حاصل شده، پاسخ­ها را با باندهای تحلیلی شناخته شده مدول حجمی مقایسه می­کنیم، به این منظور باند معروف هاشین و اشتریکمن^[۸۸] را انتخاب می­کنیم]۵۲[. بر این اساس برای مواد­مرکب متشکل از فاز پوچ و فاز جامد مدول حجمی حداکثر از روابط زیر به دست می ­آید]۵۵[:
(۴-۷)
(۴-۸)
در روابط فوق ، کسر حجمی فاز جامد است و ، مدول حجمی فاز جامد و نیز مدول برشی فاز جامد است. همچنین ، باند بالای مدول حجمی است.
۴-۷ مدل­سازی
۴-۷-۱ مقدمه
در این بخش به حل مثال­هایی از مباحث ذکر شده می­پردازیم. بدین منظور در ابتدا باید مشخصات هندسی و مشخصات مکانیکی سلول پایه را تعیین کنیم. انتخاب این مشخصات باید به گونه ­ای باشند که حتی الامکان محاسبات ساده تر شوند و همچنین بهتر است با توجه به مقالات مشابه انتخاب شوند تا بتوان مقایسه خوبی با نتایج مشابه داشت. تمامی مدل­سازی­ها در نرم افزار آباکوس انجام شده و کد مربوط به روش انرژی کرنشی و روش بهینه­سازی تکاملی دوجهته نیز با بهره گرفتن از زبان برنامه نویسی پایتون نوشته شده است.
۴-۷-۲ مدل دو­بعدی
در ابتدا هدف ما دستیابی به شکلی از سلول پایه است که حداکثر مدول حجمی را داشته باشد، به منظور دستیابی به چنین شکلی، سلول پایه­ای مربعی، با ابعاد ۴/۰۴/۰ را در نظر می­گیریم. سپس سلول پایه را به ۴۰ ۴۰ المان مربعی تنش صفحه­ای تقسیم می­کنیم. سلول پایه شامل دو­فاز است. یکی فاز جامد یا مادی و دیگری فاز پوچ، مشخصات هندسی و مکانیکی این دو­فاز در جدول(۴-۳) آورده شده است.
طرح اولیه را مطابق شکل (۴-۲) سلول پایه­ای، تماما شامل فاز جامد به جز چهار المان در گوشه­ها که پوچ شده اند، در نظر می­گیریم.
شکل ۴- ۲- مدل اولیه برای شروع بهینه­سازی به­منظور حداکثر­سازی مدول حجمی.
اگر طرح اولیه را تماما شامل فاز مادی در نظر بگیریم، در تعیین المان­های پوچ مراحل بعد دچار مشکل می­شویم. زیرا به دلیل تقارن، حساسیت بخش زیادی از المان­ها یکسان می­شوند و در نتیجه ممکن است در یک مرحله تعداد زیادی از المان­ها تبدیل به المان­های پوچ شوند.
برای آغاز بهینه­سازی توپولوژی در گام نخست باید پارامترهای طراحی را تعریف کنیم. نخستین پارامتر قید حجمی است. در اینجا به­منظور بررسی بهتر نتایج، دو قید حجمی %۳۰ و %۱۰ را در نظر می­گیریم. دومین پارامتر، شعاع فیلتر است. شعاع فیلتر باید ناحیه­ای باشد که بیش از یک المان را در بر­گیرد. با توجه به مشخصات هندسی سلول پایه، شعاع فیلتر را ۳ سانتیمتر در نظر می­گیریم. به عبارتی هر المان با در نظر گرفتن حساسیت المان­هایی که در دایره­ای به شعاع ۳، و مرکزیت خود المان قرار دارند، تعیین حساسیت می­ شود. ناحیه­ای که دایره­ی مذکور تشکیل می­دهد در شکل (۴-۳) با رنگ روشن نشان داده شده است. پارامتر سوم طراحی، نرخ تکامل است. نرخ تکامل در واقع تعیین­کننده­ آن است که هر بار چه کسری از المان­ها از سلول پایه تبدیل به المان­های پوچ شوند. مقدار نرخ تکامل را ۰۱۲۵/۰ در نظر می­گیریم. این بدان معنی است که اگر مثلا ۰۰۰,۱۰ المان مادی، در سلول پایه وجود داشته باشد، در انتهای این مرحله ۱۲۵ المان پوچ می­شوند. از دیگر پارامترهای طراحی توان پنالتی است. توان پنالتی برای اختصاص دادن چگالی محلی به المان­ها تعریف می شود و با توجه به اینکه پیشتر ذکر شد این مقدار عدد ۳ انتخاب می­ شود، لذا مطابق رابطه (۲-۳)، مدول یانگ فاز پوچ را برابر مدول یانگ فاز مادی در نظر می­گیریم. به عبارتی در روش مرگ نرم با کم کردن مقدار مدول یانگ، به جای حذف کامل آن، آنرا ضعیف می­کنیم (ازحالت جامد به حالت خمیری در می­آوریم اما آنرا بطور کامل حذف نمی­کنیم). مقادیر این پارامترها به طور خلاصه در جدول(۴-۳) ،آورده شده ­اند.
شکل ۴- ۳- شعاع فیلتر، دایره­ای به مرکزیت المان اُم و شعاع فیلتر
جدول ۴- ۳- مشخصات مدل اولیه برای حداکثر­سازی مدول حجمی درحالت دو­بعدی
مدول حجمی در حالت دو­بعدی بر حسب مولفه­های ماتریس الاستیک بیان می­ شود و مقدار آن نیز از رابطه­ (۴-۲-الف) به دست می ­آید. اگر این رابطه را ساده­تر بنویسیم به رابطه­ (۴-۹) می­رسیم]۵۶[.
(۴-۹)
با توجه به رابطه­ (۴-۹) و کمک گرفتن از رابطه­ (۴-۶)، برای طراحی سلول پایه بر اساس حداکثر مدول حجمی، حساسیت هر المان، یعنی ، در حالت دو­بعدی از رابطه زیر به دست می ­آید.
(۴-۱۰)
در رابطه فوق، و انرژی کرنشی المان اُم به ترتیب تحت شرایط مرزی ۱۰ و ۱۱ هستند. برای محاسبه ، از جدول(۳-۲)، مولفه ، را در نظر می­گیریم. این مولفه برابر است با :
(۴-۱۱)
در رابطه فوق ، انرژی کرنشی مجموع المان­ها تحت شراط مرزی ۱۲ است. همچنین مقدار ، علاوه بر شرط مرزی ۱۲، به شرایط مرزی ۱۰ و ۱۱ نیز وابسته هست.
بنابراین اگر را انرژی کرنشی المان اُم، تحت شرط مرزی ۱۲ در نظر بگیریم، در آن صورت ، از رابطه زیر به دست می ­آید:
(۴-۱۲)
حال با توجه به پارامترهای انتخاب شده بهینه­سازی توپولوژی را انجام می­دهیم. پس از انجام بهینه­سازی توپولوژی، شکل نهایی سلول پایه و ماتریس موثر الاستیک آن، برای حالت مدول حجمی حداکثر، و برای دو کسر حجمی %۳۰ و %۱۰، به ترتیب در شکل­های (۴-۴-الف) و (۴-۴-ب)، نشان داده شده است.
شکل ۴- ۴- سلول پایه با حداکثر مدول حجمی به همراه ماتریس الاستیک، (الف) برای کسر حجمی %۳۰ ، (ب) برای کسر حجمی %۱۰ .
تشابه اشکال نهایی در دو کسر حجمی مختلف، بیانگر همگرا شدن پاسخ­ها در حالت حداکثرسازی مدول حجمی است. با توجه به پارامترهای انتخاب شده از جدول(۴-۳)، باند بالای مدول حجمی برای دو کسر حجمی %۳۰ و %۱۰، به ترتیب برابر ۰۹۱/۰ و ۰۲۶۷/۰ گیگا پاسکال از رابطه (۳-۸) محاسبه می­شوند، از آنجایی که مدول حجمی طرح نهایی با توجه به ماتریس الاستیک حاصل شده و مطابق رابطه (۴-۲-الف)، برابر ۰۹/۰ و ۰۲۶۵/۰گیگا پاسکال می­گردند، لذا پاسخ­ها از لحاظ عددی مطابقت مناسبی با باند هاشین دارد. پاسخ­های فوق پس از حدود هفتاد و پنج تکرار به دست آمده­اند. با توجه به اینکه کسر حجمی فاز جامد در هر مرحله به کمک نرخ تکامل کاهش می­یابد. نمودار تغییرات کسر حجمی و مدول حجمی در هر مرحله در شکل (۴-۵) آورده شده است.
شکل ۴- ۵- نمودار تغییرات کسر حجمی و مدول حجمی در هر مرحله برای دستیابی به کسر حجمی %۱۰.
همانطور که در نمودار ملاحظه می­کنید، در هر تکرار کسر حجمی کاهش می­یابد تا به مقدار مورد نظر، یعنی %۱۰ برسد، پس از آن باید تکرار­ها را ادامه دهیم تا این بار تغییرات تابع هدف یعنی مدول حجمی مطابق رابطه (۳-۷) به مقدار بسیار ناچیزی حدود ، برسد. بنابراین همانطور که در نمودار ملاحظه می­ شود پس از آنکه قید حجمی در تکرار شماره ۶۷ ارضا شد، تکرارها را ادامه پیدا کرد تا اینکه درتکرار شماره ۷۵، تغییرات مدول حجمی در ده تکرار آخر به مقدار ، رسید.
برای ارائه پاسخ­های کلی­تر، چند سلول پایه از شکل (۴-۴) را در کنار هم قرار می­دهیم، تا در نهایت به شکل(۴-۶) برسیم و شکل نهایی سلول پایه را در مقیاس بزرگتر به دست آوریم.
شکل ۴- ۶- مجموعه ­ای از سلول­های پایه با حداکثر مدول حجمی، (الف) برای کسر حجمی %۳۰، (ب) برای کسر حجمی %۱۰.
شکل (۴-۶-الف) مشابه شکل (۴-۷) است، این شکل را پیشتر، زی و هوانگ، با پارامترهای انتخابی مشابه جدول(۴-۳) و با اعمال تئوری همگن­سازی جهت تعیین ماتریس الاستیک و به­ کارگیری روش بهینه­سازی تکاملی دوجهته، برای دست­یابی به مدول حجمی حداکثر برای کسر حجمی %۳۰ به دست آورده بودند]۵۵[. اما برتری روش استفاده شده در این مقاله، آنست که، به دور از محاسبات پیچیده تئوری همگن­سازی و تنها با اعمال چند شرط مرزی ساده به نتایج مورد نظر رسیدیم. علاوه بر آن، آنالیز حساسیتی که مطابق با روش انرژی کرنشی انجام شده است بسیار ساده­تر از آنالیز حساسیت در تئوری همگن­سازی است.
شکل ۴- ۷- سلول پایه با حداکثر مدول حجمی و کسر حجمی %۳۰، از مقاله زی و هوانگ]۵۶[.
حال به دنبال دستیابی به شکلی از سلول پایه با حداکثر مدول برشی هستیم، به­منظور دستیابی به چنین طرحی، این بار سلول پایه مربعی با ابعاد (۸/۰۸/۰) را به ۸۰ ۸۰ المان مربعی تنش صفحه­ای تقسیم ­بندی می­کنیم. طرح اولیه را مطابق شکل (۴-۸)، سلول پایه­ای تماما شامل فاز جامد به جز چهار المان در گوشه ها که پوچ شده ­اند در نظر می­گیریم.
شکل ۴- ۸- مدل اولیه برای شروع بهینه­سازی به منظور حداکثر­سازی مدول برشی.
دلیل پوچ کردن عمدی چند المان در ابتدا، جلوگیری از حذف همزمان بخش زیادی از المان­ها در مراحل ابتدایی است. زیرا که با توجه به شرایط مرزی متقارن حساسیت بخش زیادی از المان­ها یکسان می­ شود. خواص مکانیکی مدل و پارامترهای بهینه­سازی نیز مطابق جدول(۴-۴) انتخاب می­شوند.
جدول ۴- ۴- مشخصات مدل اولیه برای حداکثر سازی مدول برشی درحالت دو بعدی
برای حداکثر­سازی مدول برشی، حساسیت هر المان از رابطه­ (۴-۵) محاسبه می­ شود. بهینه­سازی توپولوژی را با هدف حداکثر سازی مدول برشی و با توجه به پارامترهای انتخاب شده در جدول(۴-۴)، انجام می­دهیم. برای دو کسر حجمی%۳۰ و %۲۰، شکل نهایی سلول پایه و ماتریس موثر الاستیک، به ترتیب مطابق شکل­های (۴-۹-الف) و (۴-۹-ب) به دست می­آیند.
شکل ۴- ۹- سلول پایه با حداکثر مدول برشی به همراه ماتریس الاستیک موثر (الف) برای کسر حجمی %۳۰ (ب) برای کسر حجمی %۲۰ .
بار دیگر تشابه پاسخ­ها، نمایانگر همگرا شدن آنهاست. پاسخ­هایی را که در شکل (۴-۹) ملاحظه می­کنید، پس از سی و هشت تکرار حاصل شده ­اند. نمودار تغییرات مدول برشی در هر تکرار و همچنین تغییر در کسر حجمی سلول پایه، برای رسیدن به کسر حجمی %۲۰، در شکل (۴-۱۰)، نشان داده شده است.
شکل ۴- ۱۰- نمودار تغییرات کسر حجمی و مدول برشی در هر مرحله برای دستیابی به کسر حجمی %۲۰.
بار دیگر در نمودار مشاهده می­کنید که پس از هر تکرار کسر حجمی کاهش می­یابد. این کاهش تا رسیدن به کسر حجمی %۲۰، ادامه می­یابد. همچنین طبق این نمودار در هر تکرار مدول برشی نیز با کاهش کسر حجمی کاهش می­یابد، پس از اینکه قید حجمی به مقدار %۲۰ رسید، تکرارها تا زمانی که تغییرات مدول برشی به مقدار کمتر از برسد، ادامه می­یابد.
زی و هوانگ، با اعمال تئوری همگن­سازی جهت تعیین ماتریس الاستیک و استفاده از روش بهینه­سازی تکاملی دوجهته، برای دست­یابی به حداکثر مدول برشی، به اشکالی مشابه شکل­های (۴-۹)، دست یافته بودند]۵۶[. بنابراین می­توانیم با مقایسه نتایج، از صحت مراحل انجام شده، اطمینان یابیم. مدل نهایی­ای که زی و هوآنگ بدین منظور به دست آورده بودند، در شکل (۴-۱۱) ملاحظه می­کنید. این مدل برای کسر حجمی %۳۵، به دست آمده و بسیار مشابه شکل(۴-۹-الف) است.
شکل ۴- ۱۱- سلول پایه با حداکثر مدول برشی و کسر حجمی۳۵%، از مقاله زی و هوانگ]۵۵[.
بنابراین با­ به­کار­گیری بهینه­سازی توپولوژی، می­توانیم شکل سلول پایه را طوری طراحی کنیم که مدول حجمی یا مدول برشی آن حداکثر گردد. برای آنکه بدانیم، بهینه­سازی انجام شده، تا چه میزان می ­تواند موجب بهبود مقادیر مدول حجمی یا مدول برشی گردد، نمونه­هایی از شکل­های متداول برای سلول پایه را در نظر می­گیریم. همچنین برای مقایسه بهتر، خواص مکانیکی نمونه­ها را مشابه جدول(۴-۴) انتخاب می­کنیم، سلول­ها را طوری انتخاب می­کنیم که کسر حجمی فاز مادی در آنها %۳۰ باشد. ماتریس الاستیک، مدول حجمی و مدول برشی این سلول­ها را با بهره گرفتن از روش انرژی کرنشی تعیین می­کنیم. اگر مقادیر حاصل شده از بهینه­سازی توپولوژی با کسر حجمی %۳۰، یعنی مدول حجمی شکل (۴-۴-الف) و مدول برشی شکل (۴-۹-الف) را به ترتیب و بنامیم، در آن صورت می­توانیم با مقایسه­ و ، با مدول حجمی و مدول برشی نمونه­های در نظر گرفته شده، بفهمیم که بهینه­سازی توپولوژی تا چه میزان باعث بهبود این خواص شده است. این مقایسه­ها به طور خلاصه در جدول(۴-۵)، نشان داده شده است. با توجه به این جدول می­توان به این نتیجه رسید که با تعیین شکل بهینه سلول پایه به کمک بهینه­سازی توپولوژی، مقادیر مدول حجمی و مدول برشی تا میزان زیادی بهبود یافته اند.
جدول ۴- ۵-مقایسه مدول حجمی و مدول برشی چند سلول پایه با کسر حجمی %۳۰.
۴-۷-۳ مدل سه­بعدی