حال اگر مقادیر و را در رابطه اولیه قرار دهیم خواهیم داشت:

(۴-۴)

که در آن L طول المان است. رابطه بدست آمده فوق رابطه­ای استاندارد برای میان­یابی است زیرا ترکیب خطی مقادیر گرهی است که ضرایب آنها نیز توابعی خطی از X می­باشند. این توابع خطی را با حرف N نمایش می­ دهند و آنها را توابع شکلی می­نامند. بنابراین توابع شکلی به صورت زیر می­باشند:

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

(۴-۵)

و رابطه میان­یابی را می­توان به صورت زیر خلاصه کرد:

(۴-۶)

هر تابع شکلی در محل گره خود دارای مقدار یک و در محل گره دیگر دارای مقدار صفر است. مجموع توابع شکلی در یک نقطه همواره برابر یک است. همواره مرتبه توابع شکلی و میان­یابی یکسان است به عنوان مثال اگر حل تقریبی یا همان میان­یابی تابعی خطی باشد، توابع شکلی گره­ها هم توابع خطی خواهند بود. از دیگر ویژگی­های توابع شکلی این است که مجموع مشتقات آنها نسبت به یک متغیر (مانندX) برابر صفر است.
برای حل معادله حاکم ابتدا یک تخمین برای معادله حاکم زده می­ شود. سپس با انتخاب تابع وزنی مناسب و به تعداد مجهولات موجود در تخمین اولیه، انتگرال حاصلضرب تابع وزنی و باقیمانده محاسبه می­گردد که عبارتی بر حسب ضرایب نامعلوم تابع تقریب خواهد بود. در روش گالرکین، توابع وزنی همان توابع شکلی می­باشند. به طور مثال در یک المان خطی انتگرال حاصلضرب هر یک از توابع شکلی در باقیمانده محاسبه می­گردد و در نهایت دو معادله با مجهولات و بدست می ­آید. به عبارت دیگر به ازای هر گره یک معادله بدست می ­آید. به دلیل اینکه هر معادله شامل بیش از یک مجهول است، به تنهایی قابل حل نخواهد بود و می­بایست ابتدا به تعداد گره­ها معادله استخراج شود تا آنگاه تمامی معادلات به صورت یکجا حل گردند. پس از استخراج معادلات نوبت به حل آنها می­رسد که روش های متنوعی برای حل موجود است. سپس در مرحله بعد و پس از مشخص شدن مقادیر گرهی، با توجه به ابعاد اولیه و خواص هندسی ماده تعریف شده، سایر کمیات نظیر کرنش، تنش، نیرو و گشتاور محاسبه می­گردند.
۴-۲-۲- روش تفاضل محدود
در این روش برای حل معادله دیفرانسیل، یک عملگر دیفرانسیلی تقریب زده می­ شود به این ترتیب معادله دیفرانسیل تبدیل به معادله جبری می­ شود در این حالت هندسه سازه را به بخش­های کوچکی تقسیم می­کنیم، حال با سر هم کردن معادلات جبری حاکم بر این قسمت­ های کوچک یک دستگاه معادلات جبری به دست می ­آید با حل این دستگاه مجهولات مسئله به عنوان مثال جابجایی در نقاط مختلف سازه محاسبه می­ شود این روش بیشتر در ورق­ها و پوسته­ها مورد استفاده قرار می­گیرد و لازم به ذکر است که امروزه کمتر از این روش استفاده می­ شود.
۴-۲-۳- روش المان مرزی
در روش المان مرزی همانند روش اجزای محدود جواب معادله تقریب زده می­ شود ولی در اینجا بجای معادلات دیفرانسیل، معادلات انتگرالی خواهیم داشت که حل آن­ها به مراتب پیچیده­تر از حل معادلات دیفرانسیل است، یکی از تفاوت­های دو روش اجزای محدود و المان مرزی در این است که در روش المان مرزی تنها کافیست مرز سازه در مسائل دوبعدی و یا سطح یا رویه سازه در مسائل سه بعدی تقسیم بندی و آنالیز شود این بدان معنی است که روش المان مرزی یک بعد را کاهش می­دهد و در محاسبات بسیار موثر است.
۴-۳- تحلیل دینامیکی در نرم افزار اجزای محدود
در تحلیل دینامیکی، بارهای وارد به سازه مورد بررسی، به صورت تابع زمان و به تبع آن، پاسخ­های القایی از قبیل سرعت، تغییر مکان، نیروهای شتابی و تنش نیز به صورت زمانمند می­باشند. این مشخصه مختلف زمانی باعث پیچیده­تر شدن تحلیل دینامیکی نسبت به تحلیل استاتیکی می­ شود. سه نوع تحلیل دینامیکی در نرم افزار اجزای محدود می توان انجام داد که در ذیل توضیح داده می­شوند.
۴-۳-۱- تحلیل با بهره گرفتن از مقادیر ویژه
این روش برای تعیین رفتار ارتعاش آزاد بدون میرایی سازه بکار می­رود. نتایج تحلیل از دیدگاه مقادیر ویژه، مقدار فرکانس و شکل مود­هایی که سازه هنگام ارتعاش به آن­ها تمایل دارد را نشان می­دهد.
معادله حرکت سازه بدون اجزای میرا کننده و بارگذاری در تعریف ماتریسی به صورت زیر می­باشد:

(۴-۷)