اگر چه بعید به نظر می­رسد که مسئله (PP) یک مسئله برنامه­ ریزی محدب باشد، اما یک تبدیل ساده از این مسئله نشان می­دهد که رابطه (۳۳) شرط لازم و کافی برای یک جواب بهینه را دارد. مسئله (PP) را مجدداً فرمول­نویسی می­کنیم و آن را به مسئله انتخاب سطح مطلوبیت کارگزار برای هر پیش­آمد ، مثلاً سطح مطلوبیت ، تبدیل می­نماییم. قرار می­دهیم . بنابراین تابع هدف به صورت زیر

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

تغییر می­ کند که در محدب است و قیود همگی در خطی هستند. در اینصورت متغیر کنترل کارفرما محسوب می­ شود. بعلاوه چون U مقعر است دلالت دارد بر اینکه محدب و بنابراین تابع هدف در محدب می­باشد. در اینصورت مسئله () به یک مسئله بهینه­سازی ساده، تبدیل می­ شود: مینیمم کردن یک تابع محدب با قیود و محدودیت­های خطی (این امکان وجود دارد که تعداد آن­ها نامتناهی باشد). بالأخص اینکه، چون مجموعه E متناهی می­باشد قضیه کان-تاکر شرایط لازم برای بهینگی را دارد.
ذکر این نکته ضروری است که در صورتی که مفروضات ذکر شده راجع به تابع مطلوبیت کارگزار، به طور حاﺻﻞجمعی تفکیک­پذیر بودن تابع مطلوبیت کارگزار و سایر مفروضات ذکر شده راجع به و ، وجود نداشته باشند، به طور کلی امکان تبدیل مسئله (PP) به یک مسئله محدب وجود نخواهد داشت.
شرایط مرتبه اول برای مسئله () به صورت زیر می­ شود
توجه شود که بردار اقدام بهینه دوم ، ماکزیمم کننده عایدی خالص کارفرما است. برنامه انگیزه بهینه دوم برنامه­ای است که یک بردار اقدام بهینه دوم را در حداقل هزینه مورد انتظار، اجرا می­ کند.
میررلس (۱۹۷۵) نخستین کسی بود که خاطر نشان کرد که جواب مسئله بهینه­سازی پارتو تحت رویکرد مرتبه اول همواره با جواب همین مسئله اما تحت قید IC یکسان نخواهد بود. به ویژه اینکه، شرایط لازم برای قراردادی که برنامه کارفرما را تحت رویکرد مرتبه اول با بهره گرفتن از قضیه کان-تاکر حل می­ کند، شرایط لازم برای یک قرارداد که مسئله کارفرما را تحت قید IC حل کند، هم نخواهد بود!
استفاده از رویکرد مرتبه اول، مطالعه مدل­های مخاطره اخلاقی استاندارد را بسیار ساده می­سازد که اعتبار آن­ها توسط جویت (۱۹۸۸) و روگرسون (۱۹۸۵) اثبات شده است. اما اعتبار این روش­ها برای مدل­های مخاطره اخلاقی در چارچوب­های کلی­تر –مثلاً در شرایطی که کارگزار می ­تواند به طور پنهانی و محرمانه قرض بگیرد (پس­انداز کند)- به خوبی درک نشده است. مشکل مربوط به رویکرد مرتبه اول را می­توان در مقاله میررلس (۱۹۸۵، ص ۱۳۶۱-۱۳۶۰) در قالب یک مثال گرافیکی مشاهده نمود. در واقع، میررلس (۱۹۷۴) نشان داده است که شرط یکنواخت بودن نسبت راستنمایی MLRP، همراه با شرط تحدب در تابع توزیع (CDFC) برای اعتبار رویکرد مرتبه اول بسنده می­باشند.
توجه شود که مفروضات مطرح شده در مطالعات روگرسون (۱۹۸۵) و جویت (۱۹۸۸)، برای ادبیات اوراق بهادارسازی و نتایج گرفته شده در رابطه سرمایه­گذار و بانی رهن­ها، کافی هستند زیرا این مفروضات تنها برای بعد تلاش مطرح شده ­اند. بنابراین می­توان نتیجه گرفت که رویکرد مرتبه اول برای مسئله بهینه­سازی
سرمایه­گذار (PP) معتبر می­باشد.
در ادامه برای آشنایی بیشتر و کامل نمودن مطالب، شرایط کافی برای معتبر بودن رویکرد مرتبه اول معرفی می­گردد.

۴-۸-۱- مشخصه­های برنامه انگیزه بهینه
در این بخش، شرایط کافی برای معتبر بودن رویکرد مرتبه اول معرفی می­شوند.
یکی از مشخصه­هایی که یک برنامه انگیزه بهینه باید داشته باشد این است که به طور یکنواخت افزایش یابنده باشد، یعنی، به کارگزار بیشتر پرداخت شود هنگامی که تحقق بالایی از ستانده مشاهده می­ شود. بررسی وجود این مشخصه کاملاً مشکل است زیرا ستانده نقش اطلاعاتی نیز دارد. مشکل از آنجا شروع می­ شود که در اصل، شرط مرتبه اول (۳۲) عمدتاً نیازمند آن است که یک نقطه مانا در مسئله ماکزیمم­سازی کارگزار باشد. در ادبیات سابق، یک جواب استاندارد برای مدل­های کارفرما-کارگزار جایگزین کردن قید انگیزه مرتبه اول یا موضعی، در قید سازگاری انگیزه می­باشد.
اما ثابت شده است که این رویکرد مرتبه اول با مشکلاتی همراه است و لزوماً جواب واقعی مسئله کارفرما (PP) نمی ­باشد. دلیل آن است که ممکن است کارگزار شرط مرتبه اول (۳۲) را حتی هنگامی که بردار تلاش e انتخاب بهینه او از تلاش نیست، برآورده کند: نخست اینکه، بردار تلاش می ­تواند یک مینیمم باشد نه یک ماکزیمم؛ از اینرو، ما حداقل می­خواهیم که کارگزار یک شرط مرتبه دوم موضعی را نیز برآورده نماید.
به زبان ریاضی، بر اساس این شرط که مطلوبیت انتظاری کارگزار در تلاش مانا است، رویکرد مرتبه اول جایگزین قید سازگاری انگیزه می­ شود. با نگاه به این شرط (بدون در نظر گرفتن مفروضات)
مشاهده می­ شود که چون هیچ کدام از نقاط مانا، ماکزیمم مطلق نیستند، نمی ­توانند یک بهینه منحصر بفرد را تضمین نمایند. اما تحت این فرض که تلاش از یک بازه باز انتخاب شده است، تمامی ماکزیمم­های مطلق نقاط مانا خواهند بود. بنابراین، به طور کلی دو مسئله رویکرد مرتبه اول (بدون قید سازگاری انگیزه) و مسئله اولیه (با قید سازگاری انگیزه) ممکن است جواب­های کاملاً متفاوتی داشته باشند. یعنی سطح تلاش انتخاب شده از رویکرد مرتبه اول لزوماً در شرط سازگاری انگیزه اصلی صدق نمی­کند (جویت، ۱۹۸۸).
در حقیقت تحت این فرض که تلاش از یک بازه باز انتخاب می­ شود و تمامی ماکزیمم­های مطلق نقاط مانا هستند، مشکل رویکرد مرتبه اول آن است که این رویکرد به کارفرما یک مجموعه انتخاب
می­دهد که اکیداً بزرگ­تر است از مجموعه ­ای که با مستقیماً در نظر گرفتن قید IC در مسئله اصلی (PP)، بدست می­آمد (جویت، ۱۹۸۸).
اما هنوز هم این کافی نیست. به طور کلی، ما نیازمند آن هستیم که مطمئن شویم که تابع هدف کارگزار در مقعر می­باشد. توجه شود که این موضوع ساده­ای نیست زیرا تقعر تابع هدف کارگزار در هم به شکل تابع توزیع و هم به شکل قرارداد انگیزه پیشنهادی بستگی دارد. در واقع، تنها زمانی که قید سازگاری موضعی با شروط بسنده (یکنواخت بودن برنامه انگیزه و تحدب تابع توزیع) ترکیب شود، این دو قید با یکدیگر جهت تضمین سازگاری انگیزه، بسنده خواهند بود. برای قواعد تقسیم در حالت کلی و مطلوبیت­هایی که به طور حاﺻﻞجمعی تفکیک­پذیر هستند، روگرسون^[۷۲۱] (۱۹۸۵) و جویت^[۷۲۲] (۱۹۸۸) شرایط کافی که تحت آن هر جوابی برای شرط مرتبه اول کارگزار، یک ماکزیمم مطلق را تشکیل می­دهد، فراهم کردند. اگر این شرط کافی برقرار باشد، جایگزین کردن شرط مرتبه اول (۳۲) در رابطه (IC) معتبر خواهد بود.
مشکل دیگری که می ­تواند وجود داشته باشد آن است که به طور کلی، هنگامی که شرط مرتبه دوم برای کارگزار به طور مطلق برآورده نمی­ شود، این امکان وجود دارد که جواب مسئله ماکزیمم­سازی نسبت به قید IC در شرط مرتبه اول کارگزار صدق کند اما در شرط مرتبه اول کارفرما صدق ننماید. به عبارت دیگر، ممکن است بهینه کارفرما شامل یک جواب گوشه­ای باشد و بنابراین جواب برنامه ماکزیمم­سازی نسبت به قید IC، ممکن نیست در شرایط لازم کان-تاکر از برنامه FOA صدق کند. این نکته نخستین بار توسط میررلس (۱۹۷۴) بیان شد.

۴-۸-۲- شرایط کافی
چون پیش­آمد تصادفی است، ساختن یک برنامه جبران بهینه نیازمند فرمی از یکنواخت بودن را دارد: پیش­آمد باید به طور تصادفی برای مقادیر بزرگ از ، بیش­تر باشد. روش­های مختلفی برای انجام این مقایسه وجود دارد. برای مثال، مقایسه بر مبنای ارزش­های انتظاری، توابع توزیع احتمال، یا توابع توزیع تجمعی برای متغیرهای تصادفی. وجود یک برنامه انگیزه بهینه به مفروضات ذکر شده در مسئله درباره اینکه چگونه پیش­آمد با تلاش به طور تصادفی افزایش می­یابد، بستگی دارد.
معمولاً این مفروضات بر مبنای مقایسه توزیع­های احتمال قرار دارند. در موردی که تلاش و پیش­آمدها گسسته می­باشند، این مفروضات به معنای آن هستند که تلاش بالاتر احتمال پیش­آمد بالاتر را حداقل به همان اندازه احتمال یک پیش­آمد پایین، افزایش می­دهد. چنین فرضی نیازمند آن است که نسبت احتمال یک پیش­آمد بزرگ­تر در مقابل یک پیش­آمد کوچک­تر، در تلاش افزایش‌یابنده باشد. چون تقسیم احتمالات را می­توان به صورت نسبت راستنمایی در نظر گرفت، آن را شرط نسبت راستنمایی (MLRC) نامیده­اند (سالانیر، ۱۹۹۸).

۴-۸-۲-۱- ویژگی نسبت راستنمایی یکنواخت (MLRP)
بر اساس رابطه (۳۳) شرایط مرتبه اول زمانیکه کارفرمای ریسک خنثی انجام بردار تلاش e را می­خواهد
در نتیجه
که
توجه شود که در روابط بالا، بردار بردار تلاش بهینه است. از روابط بالا مشاهده می­ شود که آن چیزی که برنامه جبران را تعیین می­ کند، راستنمایی نسبی است: احتمال اینکه پیش­آمدها از و نه از ، نتیجه شوند. به ویژه اینکه چون G و مقعر هستند، معکوس U محدب خواهد بود (شرط لازم)؛ بنابراین مشتق معکوس ، مقعر غیر کاهش یابنده در می­باشد. در نتیجه یک شرط کافی برای غیر کاهشی و مقعر بودن برنامه انگیزه بهینه در ، آن است که نسبت برای هر مقدار از ، در غیر کاهش یابنده و مقعر باشد، یعنی راستنمایی نسبی فوق تحت در مقایسه با ، برای پیش­آمدهای بهتر ، بیشتر باشد، که به آن شرط نسبت راستنمایی یکنواخت (MLRC) می­گویند. (هولمستروم، ۱۹۷۹).
تعریف ۱٫ ویژگی نسبت راستنمایی یکنواخت (MLRP) برای یک توزیع و با چگالی
مشتق­پذیر، در x برآورده می­ شود اگر
به زبان ساده­تر، توزیع تجمعی و چگالی آن در ویژگی نسبت راستنمایی یکنواخت صدق
می­ کنند اگر داشته باشیم
یعنی تایع چگالی ستانده، با اقدام کارگزار به عنوان یک پارامتر، یک نسبت راستنمایی یکنواخت دارد. این شرط اشاره به این دارد که تغییرات در ستانده در سطوح بالاتر، در فراهم کردن اطلاعات راجع به تلاش کارگزار، در مقایسه با سطوح پایین­تر ستانده، به طور نسبی کم­تر مفید می­باشد (جویت، ۱۹۸۸). به عبارت دیگر، قراردادی که مسئله مینیمم­سازی هزینه را حل می­ کند به طور یکنواخت افزایش یابنده است، یعنی تلاش و ستانده به طور مثبت همبسته می­باشند: تلاش بالاتر، ستانده بیشتری تولید می­ کند.
توجه شود که در این رساله تلاش تنها به دو نوع محدود شده است، و شرط MLRP به صورت زیر می­ شود
همچنین توجه شود که MLRP دلالت دارد بر ویژگی غالب تصادفی مرتبه اول، یعنی
. به زبان ریاضی
نابرابری سمت راست از شرط MLRP نتیجه شده است (هنگامی که ، انتگرال ۰ است؛ هنگامی که ، این حقیقت که نسبت راستنمایی در افزایش یابنده است دلالت دارد بر اینکه انتگرال باید اکیداً منفی باشد).
توجه شود که ویژگی غالب تصادفی مرتبه اول (شرط یکنواخت بودن تصادفی مرتبه اول^[۷۲۳]) تنها تضمین
می­ کند که تلاش بالا، به ستانده بیشتر یا مطلوبیت بیشتر کارفرما منجر می­ شود. بنابراین، ستانده بالاتر زمانی که کارگزار سخت کار می­ کند محتمل­تر است. اما با مشاهده ستانده بالا
تر، لزوماً نمی­ توان استنباط نمود که در حقیقت تلاش بیشتر توسط کارگزار انجام گرفته است. میلگروم (۱۹۸۱) شرط نسبت راستنمایی را معرفی کرد که تحت آن ستانده بالاتر علامتی است از اینکه کارگزار تلاش بیشتری اعمال نموده است.
با توجه به مطالب ذکر شده نتیجه زیر را بدست می ­آید.
گزاره ۳٫ تحت رویکرد مرتبه اول، اگر در ویژگی نسبت راستنمایی یکنواخت صدق کند، برنامه جبران در پیش­آمد فزاینده می­باشد. (هولمستروم، ۱۹۷۹).
اثبات. اثبات گزاره بلافاصله از تعریف MLRP و شرایط مرتبه اول که در بالا بیان گردید، حاصل می­ شود.
نتیجه ۱٫ در رابطه (۳۳) یکنواخت بودن برنامه جبران از شرط MLRC و این حقیقت که تابع مطلوبیت کارگزار U(.) مقعر است و ضرایب لاگرانژ غیرمنفی هستند، نتیجه می­ شود.
نتیجه ۲٫ احتمالاً یک دلیل خوب برای اینکه چرا تابع باید یکنواخت باشد آن است که ممکن است کارگزار قادر باشد که بدون هزینه ستانده را کاهش دهد، یعنی ستانده را بسوزاند^[۷۲۴].
نتیجه ۳٫ برنامه جبران بهینه زمانیکه علامت (اطلاعات اضافی) وجود ندارد، s(x)، از برنامه جبران بهینه زمانیکه علامت وجود دارد (رابطه ۳۳)، ، اکیداً بزرگ­تر است.
میلگروم (۱۹۸۱) نشان داد که شرط MLRC معادل است با ویژگی آماری زیر: فرض کنید یک آماردان با یک پیشین از اقدام انتخابی کارگزار شروع می­ کند، سطح ستانده را مشاهده می­ کند و سپس پیشین خود را به روز کرده و اعتقادات پسین خود از اقدام انتخابی کارگزار را محاسبه می­نماید. توزیع را توزیع احتمال پسین با مفروض بودن مشاهده قرار می­دهیم. دراینصورت MLRC معادل است با
به این معنا که با مشاهده سطوح بالاتر ستانده استنباط می­ شود که کارگزار، به مفهوم غالب تصادفی مرتبه اول، سخت کار کرده است. (میلگروم، a1981)
شرط MLRC همچنین دلالت دارد بر اینکه افزایش در تلاش موجب می­ شود که ستانده به مفهوم غالب تصادفی مرتبه اول افزایش یابد (روگرسون، ۱۹۸۵).