(۳-۷)
برهان: به ازای هر داریم :

از (۳-۲) و نشان می‌دهد که:

با انتگرال گیری روی ، به دست می‌آوریم:

.□
۴) کران پایین : فرض کنیم ، آن‌گاه
(۳-۸)
برهان : فرض کنیم که بزرگ‌ترین t است به طوری که ؛ با توجه به گزاره ۳-۱-۱- الف) Φ یک مانع خود هماهنگ است پس این تابع روی Δ خود هماهنگ است. بیضی واحد و بسته دیکن Φ به مرکز به فضای بسته Δ تعلق دارد (فصل ۲- قسمت ۲) یعنی :

یا

با دوبار انتگرال گیری متوالی از نامساوی فوق داریم:

و با جایگذاری داریم :

.□
۵) کران بالایی روی نرم محلی مشتق اول: فرض کنیم . آن‌گاه به ازای هر داریم:
(۳-۹)
برهان: ]۴[
۶) منحصر به فردی مینیمم مقدار و خاصیت مرکزی: F ناتباهیده است اگر و تنها اگر G شامل هیچ خطی نباشد . اگر G شامل هیچ خطی نباشد آن‌گاه F به مینیمم مقدارش روی intG می‌رسد اگر و تنها اگر G کراندار باشد در این صورت، مینیمم مقدار F (یعنی که مرکز G است) منحصر به فرد است و دارای خاصیت مرکزی زیر است :
بیضی واحد و بسته دیکن F به مرکز درون G است و بار بزرگ‌تر از مرکز بیضی شاملG است :
(۳-۱۰)
برهان : از فصل ۲- قسمت ۲ می‌دانیم که زیر فضای هر تابع خود هماهنگ نیز زیر فضای بازگشتی دامنه‌اش است : بنابراین اگر G شامل هیچ خطی نباشد آن‌گاه پس F ناتباهیده است . به عکس ، اگر G شامل یک خط با جهتh باشد آن‌گاه به ازای هر داریم . با توجه به خاصیت نیمه کرانداری :
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت nefo.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

که نشان می‌دهد بنابراین F در راستای جهت h و نقطه ی در ، ثابت است پس بنابراین F تباهیده است .
حال فرض می‌کنیم که G شامل هیچ خطی نمی‌باشد . اگر G کراندار باشد آن‌گاه واضح است که F به مینیمم مقدارش روی می‌رسد (با توجه به دلایل فشردگی) . حال فرض می‌کنیم کهF به مینیمم مقدارش روی می‌رسد. چون ناتباهیده است مینیمم مقدار منحصر به فرد است. فرض کنیم بیضی واحد و بسته دیکن F به مرکز باشد؛ می‌دانیم که درون G است (فصل ۲-قسمت۲) ، ثابت می‌کنیم که بار بزرگ‌تر از مرکز بیضی است،که شامل G است. این نتایج از کرانداری G و خاصیت مرکزی است و در نتیجه اثبات کامل خواهد شد.
لم ۳-۲-۱ : فرض کنیم و h یک جهت دلخواه با باشد به طوری که آن‌گاه نقطه خارج از intG است.
توجه کنید که لم ۳-۲-۱ نشان می‌دهد که ، چون وقتی که ، مینیمم مقدار F است پس ، به ازای هر h و فرض لم برای هر h با معتبر است.
اثبات لم : فرض کنیم:

از خود هماهنگی F داریم :

با انتگرال گیری از نامساوی فوق داریم:

با توجه به :

که با انتگرال گیری از نامساوی فوق می رسیم به :
(۳-۱۱)
حال فرض می‌کنیم باشد به طوری که آن‌گاه از رابطه نیمه کرانداری
(۳-۶) داریم :

با ترکیب نامساوی‌ها ، می‌رسیم به :
(۳-۱۲)
قرار می‌دهیم و به کران بالا روی t می‌رسیم بنابراین و (۳-۱۲) برای قابل قبول است . اگر باشد آن‌گاه (۳-۱۲) برای و قابل قبول است و به دست می‌آوریم :
(۳-۱۳)
نامساوی فوق برای نیز معتبر است . بنابراین (۳-۱۳) همواره برقرار است . با توجه به ساختار ، نقطه درونی G نیست در نتیجه نیز نقطه درونیG نیست .□
نتیجه ۳-۲-۱ : فرض کنیم h یک جهت بازگشتی G باشد ، یعنی به ازای هر باشد . آن‌گاه F در جهت h غیرصعودی است و نامساوی زیر برقرار است:
(۳-۱۴)
برهان : فرض می‌کنیم ، چون h یک جهت بازگشتی است ، به ازای هر و (۲) نشان می‌دهد که به ازای هر :

چون و F در جهت h و در هر نقطه ناصعودی است . برای اثبات (۳-۱۴) تابع f(t) از F روی تقاطع خط با G را در نظر بگیرید . چون h یک جهت بازگشتی G است ، دامنه f به صورت است . با توجه به گزاره ۳-۱-۱- قسمت (الف) f مانع خود هماهنگ برای ∆ است . ممکن است f تباهیده باشد . زیرا f تابع یک متغیره است و این در صورتی است که (قسمت ۳- فصل ۲) . بنابراین ؛ در این مورد (۳-۱۴) یک نتیجه سریع از اثبات نامنفی سمت چپ رابطه است . حال فرض کنیم fناتباهیده است با توجه به (۶)، f به مینیمم خودش روی ∆ نمی‌رسد (چونf یک مانع خود هماهنگ ناتباهیده برای یک دامنه بی‌کران است) . و از ۹- فصل ۲ به دست می‌آوریم که به ازای هر داریم . بنابراین

که با ترکیب اثبات نامثبتی رابطه (۳-۱۴) نتیجه می‌شود . □