(۳-۱۸)
کلیه‌ی روابط فوق در برنامه تخصصی MATLAB به ازای فواصل زمانی کوچک (بر حسب ثانیه)، همانند شکل ۳-۵ در تعداد بخش کوچک از راکتوری به طول متر محاسبه می‌شوند. در نهایت می‌توان با اعمال ورودی دما ( ) به راکتور، به خروجی نهایی که همانا کاهش مقدار استیلن
( ) در خروجی می‌باشد، رسید. غلظت استیلن در خروجی به وسیله‌‌ی یک سنسور فرآیندی در این مدل محاسبه می‌شود که بوسیله‌ی یک کنترل کننده که در فصل آینده به طراحی آن پرداخته خواهد شد، این میزان غلظت استیلن در فرایند، کنترل شده تا به مقدار قابل قبولی برسد. بر اساس مطالعات انجام شده، مقدار قابل قبول برای استیلن خروجی بصورت استاندارد، کمتر از ppm ۵ می‌باشد. پیش‌بینی غلظت استیلن خروجی، شدیداً حساس به فعالیت کاتالیزور فرایند است، بدین مفهوم که به آسانی می‌تواند در پیش‌بینی‌های غلظت استیلن خروجی، از ppm ۴۰ تا ۵۰ تاثیرگذار باشد [۱۶].

شکل ۳-۵– تقسیم‌بندی راکتور به بخش‌های کوچک [۲۵]
لازم به ذکر است که پس از انجام پژوهش‌های به عمل آمده، تعداد تقسیم‌بندی‌های راکتور (۴۰۰ قسمت) به این علت انتخاب شده است که نمودار خروجی، دارای تغییرات قابل صرف نظر در سایر مقادیر تقسیم‌بندی راکتور می‌باشد. همچنین زمان نمونه‌برداری ۱/۰ ثانیه تنها به این دلیل انتخاب شده است که با پژوهش‌های انجام شده، در صورت استفاده از زمان‌های نمونه‌برداری ۰۱/۰ و ۰۰۱/۰ نیز تغییرات قابل توجهی در پاسخ مدل و نتایج نمودار خروجی سیستم مشاهده نمی‌گردد. بدین سبب، این نتیجه حاصل می‌شود که زمان نمونه‌برداری ۱/۰ ثانیه برای انجام حل معادلات دیفرانسیل جزئی به روش مشتقات تفاضلی اکتفا می‌کند. شکل ۳-۶ نشان‌دهنده‌ی نمودارهای دمای خروجی راکتور به ازای تغییرات دمایی یک درجه‌ی سانتی‌گراد است که با زمان‌های نمونه‌برداری متفاوت و تعداد تقسیمات راکتور متفاوت به منظور مقایسه، آورده شده است. همچنین لازم به ذکر است که نتایج بدست آمده در این بخش با داده‌های موجود در مرجع [۱۷] قابل تطابق و اعتبارسنجی است.

شکل ۳-۶– مقایسه‌ی نمودارهای دمای خروجی، به ازای مقادیر مختلف زمانی و تقسیمات راکتور
با توجه به این که مدل دینامیکی فوق به صورت بروزشده (آنلاین) و با دقت و صحت بالا، به مدل‌سازی راکتور می‌پردازد و در حقیقت می‌توان آن را مدل اصلی دینامیکی راکتور در حلقه‌ها‌ی کنترلی به جای بخش سیستم اصلی دانست، اما همواره می‌توان با توجه به نمودارهای ورودی و خروجی سیستم، توابع تبدیلی^[۵۰] از مرتبه‌های مختلف با آن‌ تقریب زد. روش‌های متنوعی برای تقریب زدن یک تابع تبدیل با یک نمودار خروجی سیستم وجود دارد، اما از جمله مرسوم‌ترین این روش‌ها، مینیمم کردن مساحت بین دو منحنی^[۵۱] است که بوسیله‌ی دستور fminsearch در برنامه‌ی تخصصی MATLAB قابل انجام است. این روش به اینگونه عمل می‌کند که ابتدا با دادن یک مقدار پله به سیستم، نمودار خروجی آن دریافت می‌شود. سپس با فرض یک تابع تبدیل از مرتبه‌های مختلف با پارامترهای مجهول، نمودار پاسخ پله‌ی آن را به ازای مقادیر مختلف پارامترها، بدست آورده می‌شود. در نهایت طبق رابطه‌ی ۳-۱۹ با بهره گرفتن از معیار مینیمم شدن مساحت بین دو منحنی پاسخ پله‌ی سیستم اصلی و تابع تبدیل تقریب زده شده، از میان توابع تبدیل به ازای مقادیر مختلف پارامترهای مجهول، تابع تبدیلی را انتخاب شده که معیار مورد نظر را مینیمم کند [۲۶].
(۳-۱۹)
در این پژوهش نیز پس از برنامه‌نویسی مدل اصلی دینامیکی راکتور و بدست آوردن نمودار دمای خروجی راکتور به ازای تغییرات یک واحد سانتی‌گراد با دمای اولیه‌ی راکتور ، نمودار پاسخ پله را بترتیب با توابع تبدیل مرتبه اول تا مرتبه‌ی چهارم، با معیار مینیمم کردن مساحت بین دو منحنی بصورت رابطه‌های ۳-۲۰ تا ۳-۲۳ تقریب زده‌ شده است. انتظار می‌رود که با افزایش مرتبه‌ی سیستم، تعداد درجات و پیچیده‌گی سیستم نیز بالاتر رود. همچنین به آسانی در این زمینه می‌توان نشان داد که هر چه مرتبه‌ی سیستم تقریب زده شده بالاتر رود، بدین مفهوم که هر چه تعداد درجات آزادی سیستم بالاتر رود، انتظار می‌رود که مقدار معیار فوق کمتر شود. اما همانطور که در روابط ۳-۲۰ تا ۳-۲۴ مشاهده می‌گردد، معیار فوق تا تقریب تابع تبدیل مرتبه سوم کمینه می‌گردد. بنابراین انتخاب درجه‌ی تابع تبدیل تقریب زده شده‌ی مرتبه سوم، می‌تواند قابل قبول باشد. از اینرو رابطه‌های ۳-۲۰ تا ۳-۲۴ مینیمم‌ تقریب توابع تبدیل بدست آمده در مرتبه‌های مختلف با مقدار اختلاف مساحت سطح زیر منحنی نسبت به سیستم اصلی را نشان می‌دهند. همچنین پاسخ پله‌ی واحد هر یک از سیستم‌های تقریب زده شده در شکل‌های ۳-۷ تا ۳-۱۰ آورده شده است.
قابل ذکر است که درجه حرارت دما در اعتبار مدل مناسب ضروری است، چرا که افزایش در درجه‌ی دما در سرتاسر طول بستر راکتور، مشخصه‌ای از نمایش واکنش‌های مختلف در آن است [۱۶]، و با افزایش دما به سبب گرماده بودن واکنش‌ها، غلظت استیلن خروجی کاهش می‌یابد. از این رو کلیه‌ی توابع تبدیل تقریب زده شده‌ی بالا، بر اساس دمای ورودی و دمای خروجی مدل دینامیکی راکتور می‌باشد.
(۳-۲۰)
(۳-۲۱)
(۳-۲۲)
(۳-۲۳)

شکل ۳-۷– پاسخ پله‌ی تابع تبدیل مرتبه اول تقریب زده شده

شکل ۳-۸– پاسخ پله‌ی تابع تبدیل مرتبه دوم تقریب زده شده

شکل ۳-۹– پاسخ پله‌ی تابع تبدیل مرتبه سوم تقریب زده شده

شکل ۳-۱۰– پاسخ پله‌ی تابع تبدیل مرتبه چهارم تقریب زده شده
با دقت در نمودار خروجی دمای راکتور سیستم اصلی که به ازای افزایش یک واحد سانتی‌گراد با دمای اولیه‌ی راکتور می‌باشد، می‌توان این نتیجه را گرفت که نمودار فوق می‌تواند حاصل‌جمع تقریب دو تابع تبدیل مرتبه اول با زمان مرده نیز باشد. از اینرو با توجه به رابطه‌ی ۳-۱۹، سعی در برازش حاصل‌جمع دو تابع تبدیل مرتبه اول با زمان مرده طبق رابطه‌ی ۳-۲۴ شده است. همچنین پاسخ پله‌ی حاصل‌جمع دو تابع تبدیل مرتبه اول فوق نیز در شکل ۳-۱۱ برای مقایسه آورده شده است.
(۳-۲۴)

شکل ۳-۱۱– پاسخ پله‌ی حاصل‌جمع دو تابع تبدیل مرتبه اول با زمان مرده
پس می‌توان نتیجه گرفت که از بین کلیه‌ی توابع تبدیل مختلف تقریب زده شده‌ی فوق، تابع تبدیل رابطه‌ ۳-۲۴ با توجه به معیار رابطه‌ی ۳-۱۹، می‌تواند بهترین گزینه برای انتخاب تابع تبدیل راکتور مورد پژوهش به جهت طراحی کنترل کننده برای آن باشد. اکنون پس از انتخاب نهایی تابع تبدیل رابطه‌ی ۳-۲۴ به عنوان تابع تبدیل دینامیکی راکتور مورد پژوهش، که با فاصله‌ی زمانی ۱/۰ و تعداد تقسیمات راکتور ۴۰۰ بخش، تقریب زده شده است، به بررسی این تابع تبدیل به جهت آشنایی با ویژگی‌های آن پرداخته شده است.
همانطور که در رابطه‌ی ۳-۲۴ مشاهده می‌گردد، این تابع تبدیل از دو قسمت بصورت حاصل‌جمع دو تابع تبدیل با زمان‌های مرده تشکیل شده است. پیش از بررسی، ابتدا هر یک از زمان‌های مرده‌ی دو تابع تبدیل را با تقریب مرتبه اول پدِ^[۵۲]، بصورت رابطه‌ی ۳-۲۵ تقریب می‌زنیم.
(۳-۲۵)
همانطور که در رابطه‌ی ۳-۲۵ مشخص است، سیستم دارای دو صفر حقیقی مینیمم‌فاز در ۰۹۸۷/۱- و ۴۷۰۳/۰- ، همچنین دارای یک صفر حقیقی غیر مینیمم‌فاز در ۳۳۲۹/۰ می‌باشد. با بررسی رابطه‌ ۳-۲۵ می‌توان دریافت که سیستم دارای چهار قطب حقیقی مینیمم‌فاز در ۳۴۳۴/۳- ، ۹۸۱۵/۰– ، ۵۰۷۰/۰– و ۳۱۹۷/۰- می‌باشد. شکل ۳-۱۲ ، ۳-۱۳ و ۳-۱۴ نیز به ترتیب نمودار بُد، نمودار نایکوئیست و نمودار مکان هندسی ریشه‌های سیستم را نشان می‌دهند.

شکل ۳-۱۲– نمودار بُد حاصل‌جمع دو تابع تبدیل مرتبه‌ی اول

شکل ۳-۱۳– نمودار نایکوئیست حاصل‌جمع دو تابع تبدیل مرتبه‌ی اول
شکل ۳-۱۴– مکان هندسی ریشه‌های سیستم حاصل‌جمع دو تابع تبدیل مرتبه‌ی اول
۳-۶- حالت پایدار فرایند هیدروژناسیون استیلن
نقطه کار در یک سیستم را به عنوان مجموعه مقادیر ورودی سیستم تعریف می‌کنند که سیستم به حالت پایدار خود رسیده باشد و اگر اغتشاش و عامل خارجی وجود نداشته باشد، سیستم در آن وضعیت باقی می‌ماند. در اینجا برای درستی شبیه‌سازی مدل سیستم، ابتدا با بهره گرفتن از برنامه‌ی تخصصی MATLAB در نقطه‌ی حالت ماندگار سیستم که در آن با بهره گرفتن از مقادیر پارامترهای اولیه در جدول ۳-۳ [۱۶،۱۷] و مدل اصلی دینامیکی سیستم، با بهره گرفتن از روش اویلر و زمان نمونه‌برداری (ثانیه) شبیه‌سازی شده‌اند و سپس نتیجه‌ی شبیه‌سازی در حالت ماندگار در شکل‌های ۳-۱۵ و ۳-۱۶ آورده شده‌ است.
جدول ۳-۳– مقادیر پارامترهای اولیه‌ی مدل سیستم

واحد

مقدار

ضریب

واحد

مقدار

ضریب