اگر یک سری گاوسین که در آن به ازاء تمامی مقادیر ، است باشد، نسبت t را می توان به عنوان یک متغیر تصادفی نرمال استاندارد با توزیع مجانبی در نظر گرفت. بنابراین اگر باشد، فرض رد می شود ( صدک ام توزیع نرمال استاندارد می باشد. ( تی سی، ۲۰۰۵، ص۲۵-۲۷)

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

• • تابع خودهمبستگی جزئی^[۸۲] (PACF)

تابع خودهمبستگی جزئی یک سری زمانی مانا تابعی از تابع خودهمبستگی آن می باشد و ابزار مناسبی در تعیین مرتبه p در یک مدل اتورگرسیون می باشد.مدل AR زیر را در نظر بگیرید:
(۳-۱۴)
به طوریکه ، و به ترتیب جزء ثابت، ضریب و جزء اخلال در یک مدل AR(j) می باشند. این مدل به شکل رگرسیون خطی چندمتغیره می باشد و می توان آن را با بهره گرفتن از روش حداقل مربعات تخمین زد. برای یک مدل AR(p) ، تابع خودهمبستگی جزئی نمونه ای با p وقفه، مخالف صفر می باشد. اما برای تمامی مقادیر نزدیک به صفر می باشد. از این ویژگی می توان در تعیین مرتبه p استفاده کرد. برای یک مدل AR(p) گاوسین که مانا نیز می باشد می توان نشان داد که تابع خودهمبستگی جزئی یک نمونه ، از ویژگی های زیر برخوردار می باشد:

• • با افزایش اندازه نمونه (T) به سمت بی نهایت، به میل می کند.

• • به ازاء تمامی مقادیر ، به سمت صفر میل می کند.

• • واریانس مجانبی برای تمامی مقادیر ، می باشد.

بنابراین برای یک سری AR(p) ، تابع خودهمبستگی جزئی نمونه، در وقفه p ام متوقف می شود. ( تی سی، ۲۰۰۵، ص۴۰-۴۲)

۳-۸ . مدل GARCH(1,1)

عمومی ترین روش های پیش بینی نوسان، مدل های پارامتریک با گسستگی زمانی هستند، که نوسان مورد انتظار یعنی h_t+T ( واریانس T دوره بعد) را به صورت یک تابع غیرجزئی از مجموعه اطلاعات تاریخی، مدل سازی می کنند. بدین منظور چنین مدلهایی دو گشتاور شرطی اولیه ( میانگین و واریانس) سری بازده ها را تعیین می نمایند. ( تاپر^[۸۳]، ۲۰۰۶)

۳-۸-۱٫ مدل سازی

را بازدهی بلندمدت در زمان t قرار دهید و فرض کنید میانگین شرطی به صورت زیر است:


که به جزء ثابت انباشته می باشد، واریانس شرطی خطاهای و و همه ی اطلاعات در دسترس تا زمان t-1 می باشد.
مدل های گارچ به منظور مدل سازی واریانس شرطی بازده ها، رواج و مقبولیت بیشتری را نسبت به سایر مدل ها به دست آورده اند . ( تاپر، ۲۰۰۶)
پایین ترین مرتبه گارچ که بطور گسترده مورد استفاده قرار می گیرد و جایگزینی مناسب برای مدلهای آرچ مراتب بالا می باشد، GARCH(1,1) است. رابطه (۳-۱۵) این مدل را به نمایش می گذارد.
(۳-۱۵)
با توجه به معادله GARCH(1,1) می توان دریافت که واریانس شرطی از سه میانگین وزنی واریانس بلندمدت ، واریانس گذشته با وزن و مجذور جمله اختلال با وزن تشکیل شده است.

۳-۸-۲٫ خطاهای غیرنرمال

تابع توزیع سری مورد مطالعه دارای دنباله های پهن^[۸۴] می باشد. در واقع در توزیعی که دنباله ها پهن هستند نسبت به توزیع نرمال، وزن بیشتری به دنباله ها داده می شوند. فرض کنید که احتمال وقوع افزایش یا کاهش قابل ملاحظه در نرخ سود یک سهم خاص بیشتر از احتمالی است که از طریق تابع توزیع نرمال بدست می آید ( یعنی احتمال وقوع انحراف از میانگین بیشتر است.) در این صورت برآورد حداکثر درستنمایی توزیع نرمال چندان معقول نخواهد بود. همانطور که میدانیم در توزیع t احتمال وجود مقادیری که با میانگین فاصله زیادی دارند بیشتر از توزیع نرمال است، به همین علت در بسیاری از بسته های نرم افزاری این امکان وجود دارد که مدل های گارچ را با بهره گرفتن از توزیع t برآورد نماییم.
– توزیع های خطای استاندارد شده
گاهی توزیع نرمال استاندارد برای توصیف ویژگی های بازده های مالی کافی نیست، برای توصیف و به تصویر کشیدن ویزگی دنباله های پهن در داده ها بالرسلو در ۱۹۸۷ میلادی و نلسون در ۱۹۹۹ میلادی، توزیع های t-استیودنت و توزیع خطاهای تعمیم یافته ^[۸۵](GED) را پیشنهاد دادند. با اینکه این دو توزیع نیز مثل توزیع نرمال متقارن اند، آنها دارای دنباله های پهن تر از توزیع نرمال هستند. در این مطالعه فرض می کنیم خطاها از توزیع های t-استیودنت و توزیع خطاهای تعمیم یافته (GED) و نیز توزیع نرمال هستند.
در حالت توزیع نرمال، تابع چگالی احتمال شرطی خطاها به صورت زیر تعریف می شود:

(۳-۱۶)
وقتی که فرض می شود خطاها از توزیع t-استیودنت پیروی میکند، تابع چگالی احتمال شرطی به صورت زیر تعریف می شود:
(۳-۱۷)
که تابع گاما می باشد. نیز درجه آزادی است و باید بیشتر از ۲ باشد. وقتی که میل کند، توزیع t-استیودنت به توزیع نرمال تبدیل می شود و بنابراین مقدار کم بیانگر دنباله های پهن تر می باشد و اگر توزیع خطاها GED‌ در نظر گرفته شود تابع چگالی احتمال شرطی خطاها به صورت زیر تعریف می شود:

(۳-۱۸)
که می باشد و تابع گاما و نیز پارامتر پهنی دنباله ها می باشد. وقتی که باشد، توزیع GED‌ تبدیل به توزیع نرمال استاندارد می شود. این توزیع دارای دنباله های پهن تری نسبت به توزیع نرمال در حالت می باشد. توزیع نرمال وقتی که باشد نسبت به توزیع GED‌ دارای دنباله های پهن تری است.

۳-۸-۳ . تخمین میانگین و واریانس شرطی با بهره گرفتن از مدل GARCH(1,1)

پارامترها در مدل گارچ معمولا بوسیله روش حداکثر درست نمایی برآورد می شوند^[۸۶]. ایده ی ورای این روش این است که مجموعه ای که با داده های نمونه تحت فرض باقیمانده استاندارد شده، پارامترهایی را مشخص می کند که تابع درست نمایی را حداکثر می کند. این کار بوسیله ی تشکیل تابع درستنمایی انجام می شود. از آنجاکه تابع حداکثر درستنمایی نمی تواند بطور تحلیلی برای مدل های نوع گارچ بدست آید تکنیک های بهینه سازی عددی برای پیدا کردن مجموعه ای از پارامترها که تابع درستنمایی را حداکثر می کند استفاده می شود. تابع لگاریتم درستنمایی برای نمونه ای با T‌مشاهده بصورت زیر است:
(۳-۱۹)
و برای توزیع t-استیودنت بصورت:

(۳-۲۰)
و برای توزیع GED به صورت زیر خواهد بود: