معادله لورنتز:
در این معادلات t زمان، v سرعت، P فشار ، q چگالی بار الکتریکی، j چگالی جریان الکتریکی، ρ چگالی، ضریب رسانندگی، B میدان مغناطیسی، E میدان الکتریکی، ضریب تراوایی خلاء، C سرعت نور و نیروی لورنتز می­باشد. ضمنا می­دانیم که که در آن ضریب گذردهی خلاء است.
قبل از تلفیق معادلات یک ساده­سازی مهم در معادله آمپر ضروری است. طبق این معادله وجود چگالی جریان j یا تحول زمانی E منجر به پایداری میدان مغناطیسی پیچشی می­گردد. حال به جمله دوم توجه کنید. اگر میدان الکتریکی مقدار مشخصه داشته باشد و تحول زمانی آن، در مدت مشخصه رخ دهد داریم:
از طرف دیگر از معادله فاراده بر حسب مقادیر مشخصه می­توان نوشت:
از آنجایی که در MHD میدان الکتریکی صرفا می ­تواند از طریق القای فاراده پدید آید و میدان الکتریکی خارجی یا ناشی از چگالی بار خالص، نداریم پس ظاهر شده در معادله آمپر همان ناشی از معادله فاراده است و می­توان آن را جایگذاری کرد:
دلالت بر سرعت مشخصه بردار دارد پس نهایتا می­رسیم به:
به نتیجه جالبی دست یافتیم. جمله فوق فقط وقتی مقدار قابل توجهی خواهد داشت که مقدار قابل مقایسه با سرعت نور باشد. در بسیاری از پدیده­هایی که در چارچوب نظریه MHD مورد مطالعه قرار می­گیرند. از جمله پدیده ­های جوی خورشید بندرت با چنین سرعتی مواجه می­شویم و بیشترین سرعتهای گزارش شده هم به یک هزارم سرعت نور نمی­رسد بنابراین در اینجا فرض غیر نسبیتی بودن سرعت سیال را در MHD وارد می­کنیم که فرض اساسی دوم در این نظریه محسوب می­گردد. در نتیجه معادلات آمپر به شکل ساده­تری در خواهد آمد:

( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

حال می­توان به تلفیق معادلات پرداخت. معادلات پایستگی بدون تغییر باقی خواهند ماند اما سه معادله دیگر قابل ترکیبند:
J =
E=
= η
را ضریب پهن روی یا پخش^[۴۳] می­نامند و با η نمایش می­ دهند. رابطه فوق در واقع تعریف میدان الکتریکی در نظریه MHD است. بر خلاف الکترودینامیک که غالبا میدان الکتریکی بر میدان مغناطیسی تقدم دارد، اینجا میدان الکتریکی است که از میدان مغناطیسی ناشی می­ شود. اکنون E را در معادله فاراده جایگذاری می­کنیم:
با کمک این اتحاد:
B
وبا استفاده از معادله گاؤس برای میدان مغناطیسی داریم:
معادله فوق معادله القا است که تحول زمانی میدان مغناطیسی را تعیین می­ کند.
بدین ترتیب تا بدین جا ۳ معادله برای تک سیال رسانا بدست آورده­ایم:
همانطور که گتیم ما انتظار داریم که معادلات بر حسب چهار کمیت اصلی MHD باشند ملاحظه می­کنیم که معادله پایستگی جرم و معادله القا^[۴۴] این انتظار را براورده کرده ­اند. اما معادله پایستگی تکانه فعلا این طور نیست.
معادلات MHD برای پلاسمای دو سیاله به شکل زیر است:
سه معادله فوق را معادلات اصلی می­نامیم. دقت کنید که مطابق انتظار ما تنها متغیرهای B وv وρ وp در این معادلات ظاهر شده ­اند.
۲-۳ حل دستگاه معادلات MHD
سه معادله مربوط به سیال شناور، اگرچه خواسته­ های ما را براورده می­ کنند اما قابل حل نیستند زیرا در این سه معادله چهار متغیر ظاهر شده است و لذا دستگاه معادلات بسته نیست. این امر اساسا از کنار گذاشتن معادله پایستگی انرژی ناشی می­ شود. معادله انرژی دارای پیچیدگی­هاییست که پرداختن به آن را دشوار می­ کند. از سوی دیگر از نظر ریاضی ما صرفا به یک معادله برای بستن دستگاه نیاز داریم و ضرورتی برای استفاده از معادله انرژی وجود ندارد. لذا کافیست یک معادله دیگر که البته فقط بر حسب چهار متغیر اصلی است را وارد دستگاه کنیم. غالبا معادله حالت مناسب ترین گزینه برای ما است. این معادله رابطه بین فشار و چگالی را بیان می­ کند:
میدانیم که نسبت گرمای ویژه در فشار ثابت به گرمای ویژه در حجم ثابت است. در شرایط فیزیکی حاکم بر پلاسمای جو خورشید، معادله حالت گاز کامل ­می ­تواند مقصود ما را براورده نماید. به یاد داریم مقدار برای گاز کامل است.
۲-۴ نگاهی دقیق­تر به معادله القا
معادله القا تحول زمانی میدان مغناطیسی را توصیف می­ کند. این تحول به دو نحو اتفاق می­افتد که هر کدام در یکی از جملات معادله القا ظاهر شده است. دراینجا سعی می­کنیم درک اولیه­ای از مفهوم این دو جمله به دست آوریم.

در مورد اولین نکته­ای که جلب توجه می­ کند ظاهر شدن v درآن است. معنی حضور v آن است که جمله­ مرد بحث تحول میدان مغناطیسی در اثر حرکت پلاسما را توصیف می­ کند. نکته­ی دوم این است که اگر پلاسما به موازات میدان مغناطیسی حرکت کند جمله­ فوق صفر خواهد شد. یعنی حرکت پلاسما وقتی میدان را دچار تحول می­ کند که راستای حرکت با میدان زاویه داشته باشد. می­توان اینگونه تجسم کرد که پلاسما با خطوط میدان برخورد می­ کند و آنها را متحول می­نماید. می­توان نشان داد این تحول به نحوی است که گویی پلاسما خطوط میدان را با خود می­کشد، شبیه یک ریسمان که در معرض جریان یک سیال منحرف می­گردد. جمله­ به دلیل همین تحول شبیه به کشیده شدن میدان به همراه پلاسما، هم روی نامگذاری شده است.
در مورد جمله ، ابتدا توجه کنیم که η همانطور که قبلا تعریف شد یک ضریب است که با گذردهی و رسانندگی^[۴۵] محیط نسبت وارون دارد. در کاربردهای اخترفیزیکی گذردهی را با تقریب بالایی می­توان همان گذردهی خلاء در نظر گرفت. بنابراین عملا η به رسانندگی پلاسما مربوط می­ شود. هرچه رسانندگی پلاسما کمتر باشد تحول زمانی B در اثر این جمله بیشتر خواهد بود. رسانندگی پلاسما نیز به نوبه خود مشخصاتی مانند چگالی و دما و … بخصوص درمورد الکترونها، بستگی دارد. بنابراین η یک ضریب است که به خصوصیات فیزیکی پلاسما مربوط می­ شود و نقش آن تعیین میزان اثرگذاری در تحول زمانی میدان مغناطیسی می­باشد.
اما نقش اصلی در این جمله را ایفا می­ کند. میدانیم اساسا در مورد یک منحنی یا رویه با تقعر آن در ارتباط است. یک خط راست یا یک صفحه تخت فاقد تقعر بوده و اگر بر تابع چنین منحنی یا رویه­ای اعمال شود حاصل صفر خواهد بود. توجه کنید خط راست یا رویه تخت در واقع دلالت بر تابعی با تغییرات مکانی یکنواخت دارد. بنابراین وقتی غیر صفر است که روند تغییرات مکانی ثابت نباشد. حال به بحث خود بازگردیم. جمله دلالت دارد بر اینکه اگر میدان مغناطیسی در ناحیه­ای از فضا دچار تغییرات نایکنواختی باشد با گذر زمان دچار تحول خواهد شد. می­توان نشان داد که این تحول به گونه ­ای است که نایکنواختی تغییرات میدان را تعدیل می­نماید. درواقع اگر این تحول ادامه یابد و مختل نشود پس از مدتی میدان مغناطیسی به حالتی خواهد رسید که تغییرات آن کاملا یکنواخت است و شیب ثابت دارد. البته در صورتی که هیچگونه شرایط مرزی در میدان حاکم نباشد، این روند نهایتا به یک میدان مغناطیسی یکنواخت با مقدار ثابت و شیب صفر منجر خواهد شد.
برای درک روشن­تر این موضوع می­توانید دو معادله زیر را مقایسه کنید:
معادله دوم معادله­ آشنای پخش حرارتی بوده و در آن رسانندگی حرارتی^[۴۶] است. یادآوری این معادله برای تجسم بهتر مسئله مفید خواهد بود. طبق معادله پخش حرارتی^[۴۷] می­دانیم اگر فرضا دو سر یک میله به طول l در دمای ثابت و نگه داشته شود پس از گذشت زمان کافی تغییرات دما در طول میله یکنواخت و دارای شیب) خواهد بود، فارغ از آن که در حالت اولیه تغییرات دما در طول میله چگونه بوده است. بعلاوه اگر شرایط مرزی برداشته شود و دمای دو سر میله هم بتواند تغییر کند، معادله پخش می­گوید که بعد از گذشت مدتی دما در سراسر میله یکسان خواهد بود.
این رفتار را میدان مغناطیسی نیز عینا بروز می­دهد، گویی که میدان از نواحی قویتر به نواحی ضعیف­تر پخش می­ شود. از دیدگاه خطوط میدان چنین به نظر می­رسد که خطوط می­خواهند فواصل خود را به نحو خاصی آرایش دهند. در حضور شرایط مرزی پس از گذشت زمان کافی تغییر فاصله خطوط روند یکنواختی خواهد یافت. در نبود شرایط مرزی خطوط تمایل دارند فواصل یکسان از هم اختیار کنند و تا حد ممکن از هم دور شوند. این رفتار را اصطلاحا پهن­روی نامیده­اند که البته به دلیل شباهت آن با پخش حرارتی، پخش مغناطیسی نیز نامیده می­ شود.
۲-۵ جمع­ بندی معادلات MHD
در نظریه MHD چهار معادله اصلی داریم:
معادله پیوستگی ( پایستگی حرکت )
معادله حرکت ( پایستگی تکانه )
ρ
معادله القا

معادله حالت

بعلاوه به طور ضمنی نیز این سه معادله برقرارند:
که از آنها می­توان به عنوان معادلات قید استفاده کرد.
معادله آخر نتیجه ضمنی فرض اساسی دوم MHD می­باشد و به سادگی قابل اثبات است:
میدان الکتریکی و جریان الکتریکی بر اساس متغیرهای اصلی به این صورت تعریف می­شوند:
E = η
ضمنا در روابط فوق و v صرفا به چگالی و سرعت حرکت یونها دلالت دارد اما p فشار الکترونها را هم شامل می­ شود.
۲-۶MHD آرمانی
وقتی عدد رینولدز مغناطیسی پلاسما بسیار بزرگ باشد، پهن­روی سهم بسیار ناچیزی نسبت به هم­روی در تحول زمانی میدان مغناطیسی ایفا خواهد نمود. پس می­توان گفت معادله القا به این شکل خلاصه می­ شود:
ضمنا درمورد میدان مغناطیسی نیز جملهη قابل چشم­پوشی خواهد بود:
E= –
پلاسمایی که چنین شرایطی داشته باشد اصطلاحا پلاسمای آرمانی می­گوییم و معادلات حاکم بر آن را که با فرض ۰ = η از معادلات MHD بدست می ­آید معادلات MHD آرمانی را IMHD می­نامیم. همانطور که قبلا اشاره کردیم در چنین شرایطی میدان مغناطیسی با گذر زمان دچار پهن­روی نخواهد شد. این یعنی میدان مغناطیسی در پلاسما خواهد ماند. به این حالت محبوس ماندن میدان در پلاسما اصطلاحا انجماد میدان در پلاسما گفته می­ شود. توجه کنید همانطور که میدان پخش نمی­ شود خلاف آن نیز طبعا اتفاق نمی­افتد یعنی میدان جمع و متمرکز نمی­ شود چرا که از نظر ریاضی متمرکز شدن میدان نیز نیازمند η غیرصفر می­باشد.
اکنون توجه کنید که اگر پلاسما گسترش یابد و میدان مغناطیسی بدون تغییر بماند درست مثل آن است که میدان مغناطیسی نسبت به پلاسما جمع شده و تمرکز یافته است. به همین ترتیب اگر پلاسما متمرکز شود و میدان تغییر نکند، عین آن است که میدان نسبت به پلاسما پخش شده باشد. از آنجا که در وضعیت مورد بررسی ما پخش و جمع شدن میدان ناممکن است، می­توان نتیجه گرفت که میدان باید الزاما همراه با پلاسما حرکت کند و به همراه آن گسترش یا تمرکز یابد. دقت کنید که منظور از حرکت کردن میدان با پلاسما به بیان بهتر پخش و جمع شدن آن میدان بهمراه پلاسما است. به عبارت دیگر میدان و پلاسما نسبت به هم فاقد تغییرند و هماهنگ باهم تحول می­یابند. اگر خطوط میدان را مجسم کنیم می­توان گفت منظور از انجماد میدان در پلاسما آن است که خطوط میدان همراه با گسترش یا متمرکز شدن پلاسما، از هم دور یا به هم نزدیک می­شوند. بیان رسمی­تر این موضوع به شکل زیر است:
شار مغناطیسی گذرنده از میان هر منحنی بسته­ای که همراه پلاسما حرکت می­ کند و به عبارت دیگر به یک عنصر فرضی از سیال متصل است با گذشت زمان تغییری نمی­کند.
این قضیه به قضیه هانز آلفون^[۴۸] به نام مکتشف آن، مشهور است. اثبات رسمی این قضیه با به دست آوردن مشتق زمانی شار مغناطیسی بر اساس معادله القا انجام­پذیر است. در اینجا سعی می­کنیم یک نتیجه ­گیری مفهومی از معادله هم­ روی داشته باشیم:
به کمک اتحاد زیر:

می­دانیم میدان مغناطیسی واگرا یا همگرا نیست: