(۳-۴)
(۳-۵)
عملگر نابودی یک ذره از حالت می­کاهد و عملگر خلق یک ذره به حالت می­افزاید. پس داریم:

(۳-۶)
عملگر عملگر تعداد ذرات است و تعداد ذرات حالت را اندازه ­گیری می­ کند. به همین ترتیب داریم:

(۳-۷)
با بهره گرفتن از دو معادله (۳-۶) و (۳-۷) رابطه زیر حاصل می­گردد:
(۳-۸)
پس عملگر خلق و نابودی در روابط جابجایی صدق می­ کنند. به همین ترتیب می­توان نشان داد ]۳۲[:
(۳-۹)
شاید از گفته های بالا چنین برداشت شود که روابط جابجایی را می­توان در مورد فرمیون­ها و بوزون­ها حداقل در حالت یک تابع موج تک ذره­ای تنها به شیوه یکسانی استفاده نمود. اما این نتیجه گیری نادرست است، زیرا خواص عملگر به آن اجازه می­دهد که حالت هایی با تعداد دلخواه بزرگ ذرات در هر حالت کوانتومی تک ذره ایجاد کند، در حالی که اصل طرد پاولی سیستم فرمیونی را ملزم می­ کند که تنها مقادیر۰ یا ۱ را اختیار کند. بنابراین بایستی افزایش تعداد ذرات در هر حالت کوانتومی همانند قبل که در قطع شده بود در نیز متوقف شود.

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

(۳-۱۰)
با توجه به مطالب بالا تمام توانهای بالاتر از یک عملگر بایستی صفر شوند که این کار با فرض عملی می­ شود و به طور خود بخود از آنجا که حداکثر یک ذره می ­تواند درهر حالت قرار بگیرد خواهد شد. همچنین از آنجا که برای ذراتی با توابع موج تک ذره­ای متفاوت بایستی علامت تابع موج با جابجایی دو ذره تغییر کند انتظار داریم که حاصلضرب دو عملگر در صورت جابجا شدن آنها تغییر کند، . تمام شرایطی که برای استفاده از شکل فرمیونی این فرمول­بندی گفته شد با بهره گرفتن از روابط پاد جابجایی برآورده می­شوند ]۳۳[:
(۳-۱۱)
بنابراین تنها دو ویژه حالت برای عملگر تعداد وجود دارد، خلا و حالت تک ذره ای که تاثیر عملگرهای ذکر شده بر این حالات از قرار زیر است:
(۳-۱۲)
با توجه به این مطالب، روابط عملگرهای خلق و نابودی برای فرمیون­ها بدین شرح است:
(۳-۱۳) اکنون مجموعه کامل دیگری از حالت­های تک ذره­ای را معرفی می­کنیم. تبدیلات میان تصویر قبلی ( ) و تصویر جدید ( ) به شرح زیر است:
(۳-۱۴)
با بهره گرفتن از معادله (۳-۱۴)، عملگرهای خلق و نابودی را بر اساس حالت­های جدید بازنویسی می­کنیم:
(۳-۱۵) با بهره گرفتن از معادله (۳-۱۵) می­توان نوشت:
(۳-۱۶)
۳-۳ هامیلتونی ذرات برهم­کنش­کننده
هامیلتونی ذرات برهم­کنش­کننده شامل دو قسمت است. یک قسمت شامل انرژی جنبشی ذرات
و قسمت دوم شامل انرژی برهم­کنش میان ذرات است:
(۳-۱۷)
با بهره گرفتن از مفاهیم بخش قبل ابتدا روابط عملگری را برای انرژی جنبشی بدست می­آوریم و سپس روابط مربوط به برهم­کنش میان ذرات را بدست می­آوریم:
(۳-۱)
برای بدست آوردن برهم­کنش میان ذرات ما فرض می­کنیم سیستم دارای دو حالت متفاوت و است. این حالت­ها هرکدام دارای اعداد اشغال و هستند. ذرات در هر یک از حالات با خودشان و با ذرات در حالت دیگر دارای برهم­کنش هستند. بدین ترتیب فرم عملگری این برهم­کنش­ها میان ذرات به صورت زیر است ]۹[:
(۳-۱۹)
بر اساس معادله (۳-۱۱) برای فرمیون­ها داریم:
(۳-۲۰)
با توجه به معادله (۳-۱۹) در ادامه خواهیم داشت:
(۳-۲۱)
بر اساس معادله (۳-۱۱) برای فرمیون­ها داریم:
(۳-۲۲)
با توجه به معادله (۳-۲۱) در ادامه خواهیم داشت:
(۳-۲۳)
اکنون با جایگذاری معادلات (۳-۱۸) و (۳-۲۳) در معادله (۳-۱۷) هامیلتونی کل را بدست می­آوریم ]۳۴[:
(۳-۲۴)
در پایان این بخش هامیلتونی ذرات برهم­کنش­کننده را بر حسب مجموعه جدید عملگرهای خلق و نابودی بازنویسی می­کنیم:
(۳-۲۵)
در این معادله و مربوط به ذره ، و مربوط به ذره است. همچنین:
(۳-۲۶)
۳-۴ برهم­کنش زوجیتی
براساس شواهد تجربی، برهم­کنش زوجیتی را در نظر می­گیریم ]۳۳[، بدین ترتیب ویژه حالت­های انرژی تک ذره­ای فرمیون­ها با انتخاب اعداد کوانتومی مناسب به صورت زوج­هایی گروه­بندی می­شوند. بنابراین یک جفت فرمیون را بصورت دو ذره­ای در نظر می­گیریم که دو تراز جفت شده با اعداد کوانتومی و را اشغال می­ کنند. در غیاب این برهم­کنش­ها، ترازهای تک ذره­ای
و دارای انرژی یکسانی هستند ( ) در این صورت هامیلتونی برهم­کنش زوجیتی به صورت زیر درمی­آید ]۹[: