از ضعیف بودن میدان گرانشی استفاده کرده و می نوسیم:

بنابراین تا تقریب مرتبه اول و شرط بهنجارش داریم:

(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

و به دست می آوریم:

بنابراین با تقریب های بالا نتیچه ی زیر به دست می آید.

در این حد مولفه خیلی بزرگتر از دیگر مولفه ها در پس توجه خود را به مولفه ی معطوف خواهیم کرد. رد تانسور انرژی- تکانه برابر خواهد بود

اگر این رابطه را در معادله ی ۲-۲۷ قرار دهیم نتیجه می شود:

این معادله مشتقات متریک در داخل را به چگالی انرژی مربوط می کند. برای آنکه عبارت مشخصی بر حسب متریک به دست آوریم باید ابتدا را حساب کنیم در حقیقت فقط به نیاز خواهیم داشت زیرا است. پس

جمله ی دوم سمت راست برای میدان های ایستا و مستقل از زمان صفر است. جمله ی سوم و چهارم نیز به صورت می باشند که در تقریب رتبه سه سهم خواهند داشت. و در تقریبی که ما به کار برده ایم از آنها صرف نظر می شود. بنابراین خواهیم داشت:

و بنابراین

با مقایسه این رابطه با معادله ی ۲-۳۷ می توان دریافت که مولفه معادله ی اینشتین در حد نیوتونی برابر است

از طرفی بنابراین و با توجه به معادله ی ۲-۲۱ داریم پس معادلات اینشتین به شکل کامل می توان به صورت زیر نوشت.

در اینجا ثابت کیهانشناسی است. در زمان ارائه ی معادلات نسبیت عام تصور عمومی بر این بود که جهان ایستا است. البته معادلات با این تصور سازگار نیستند. اینشتین برای رفع مشکل جمله ی را در معادلات خود وارد کرد. می توان نشان داد معادلات اینشتین در کیهانشناسی با حضور جمله ی ، شامل جواب های ایستا نیز خواهند بود گرچه این جواب ها پایدار نیستند. اما هنگامی که در سال ۱۹۲۹ ادوین هابل به طور تجربی نشان داد که جهان در مقیاس بزرگ در حال انبساط است، به نظر می رسید که نیازی به این جمله ی اضافی نیست. اما بعدها معلوم شد که کمیت ، ارتباط نزدیکی با چگالی انرژی خلأ در فیزیک ذرات بنیادی دارد.
معادله ۲-۴۴ رفتار متقابل انحنای فضا- زمان و توزیع ماده را مشخص می کند. این معادله را می توان از وردش کنش زیر نیز به دست آورد، که قسمت گرانشی آن به کنش اینشتین- هیلبرت معروف است .

در این رابطه دترمینان و کنش ماده است.

۲-۵ کیهان شناسی استاندارد

کیهانشناسی استاندارد براساس سه فرض اصل کیهان شناسی، اصل موضوع وایل و نسبیت عام پایه گذاری شده است.

۲-۵-۱ اصل کیهانشناسی

یکی از فرض های اساسی کیهانشناسی که با مشاهدات تجربی نیز سازگار می باشد. این است که کهکشان ها در ابعاد بزرگ ( پارسک) به طور یکنواخت در جهت های مختلف توزیع شده اند. در این ابعاد، کهکشان ها یک توزیع همگن دارند یعنی در هر لحظه از زمان تمام نقاط فضا یکسان و شبیه یکدیگرند. منظور از همگن بودن این است که اگر یک خانواده تک پارامتری از ابر سطح های فضاگونه وجود داشته باشند به طوری که در هر لحظه ی برای دو نقطه دلخواه یک ایزومتری نقطه را به نقطه تبدیل می کند. همچنین جهان در ابعاد بزرگ همسانگرد است یعنی اگر مجموعه ای از بردارهای زمان گونه که فضا-زمان را پر کرده اند، ( اگر بردار سرعت مماس بر این منخنی ها را u نمایش دهیم) وجود داشته باشند به طوریکه یک نقطه ی دلخواه مانندp و دو بردار مطعلق به فضای مماسی باشند. اگریک ایزومتری بگونه ای وجود داشته باشد که p و را ثابت نگه داشته و را به تبدیل کند می گوییم فضا همسانگرد است .
در واقع اصل موضوع کیهانشناسی بیان می کند که:
الف) یک نقطه مرجح در جهان وجود ندارد، یعنی جهان همگن است.
ب) هیچ جهت ویژه ای در جهان وجود ندارد، یعنی جهان همسانگرد است.

۲-۵-۲ اصل موضوع وایل

بر اساس این اصل کهکشان های تشکیل دهنده ی جهان شبیه ذرات یک سیال هستند. این ذرات در فضا-زمان روی ژئودزیک های زمان گونه حرکت می کنند که از نقطه ای در گذشته واگرا می شوند. این اصل موضوع ایجاب می کند که ژئودزیک ها یکدیگر را قطع نکنند، مگر در یک نقطه تکین در گذشته یا آینده. بنابراین از هر نقطه از فضا-زمان، تنها یک ژئودزیک عبور می کند، در نتیجه ماده در هر نقطه سرعتی یکتا دارد. پس سیالی که جهان را فرا گرفته، می تواند یک سیال کامل در نظر گرفته شود. این نکته اساسی در اصل موضوع وایل است .

۲-۵-۳متریک رابرتسون- واکر^[۳]

اگر فضا-زمان را به مجموعه ای از ابر سطح های فضاگونه تقسیم کنیم، هر ژئودزیک بر این سطوح عمود خواهد بود. اگر مختصات را به گونه ای معرفی کنیم که ابر سطوحی که توسط سطوح (ثابت=t) داده می شوند به طوری که مختصات در طول این ژئودزیک ها ثابت بماند چنین مختصاتی را، مختصات همراه^[۴] می نامند. بنابراین می توان پارامتر را به گونه ای انتخاب کرد که در متریک فضا-زمان به شکل زیر وارد شود.

در این رابطه متریکی است که هندسه ابر سطح را تعین می کند. در چنین چهارچوبی، نقاط با یک فاکتور زمانی معین از یکدیگر دور می شوند. بنابراین می توان فاکتور زمانی را به صورت زیر از بخش فضایی جدا کرد:

در این رابطه فاکتور مقیاس و ضریبی است که تحول هندسی ابر سطح های (ثابت=t) را تعیین می کند و زمان کیهانی است. البته باید توجه داشت که هر برش فضاگونه باید همگن، همسانگرد و مستقل از زمان باشد. این بدان معنی است که انحنای ابر سطح ها در هر نقطه باید ثابت باشد. از نظر ریاضی فضای انحنای ثابت با رابطه زیر مشخص می شود:

در این رابطه مقدار ثابتی است که انحنای فضا را مشخص می کند. اگر رابطه ۲-۲۷ را در ضرب کنیم بدست می آوریم:

این فضای سه بعدی باید حول هر نقطه ای همسانگرد باشد، یا به عبارتی دارای تقارن کروی باشد پس متریک مربوط به این فضا را می توان به صورت زیر نوشت :