جدول ۵-۵: تاثیر اندازه نخبه بر نرخ موفقیت الگوریتم TLBO ………………………………………..73
جدول ۵-۶: تاثیر اندازه نخبه بر درصد انحراف میانگین الگوریتم TLBO ……………………. 74
جدول ۵-۷: تاثیر روش زمانبندی بر الگوریتم TLBO برای مسائل J30 ………………………… 76

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

جدول ۵-۸: تاثیر روش زمانبندی بر الگوریتم TLBO برای مسائل J60 ………………………… 76
جدول ۵-۹: تاثیر روش زمانبندی بر الگوریتم TLBO برای مسائل J90 ………………………… 76
جدول ۵-۱۰: تاثیر روش زمانبندی بر الگوریتم TLBO برای مسائل J120 …………………… 76
جدول ۵-۱۱: تاثیر روش زمانبندی بر الگوریتم TLBO …………………………………………………. 77
جدول ۵-۱۲: مقایسه الگوریتم­ها برای مسائل J30 …………………………………………………………. 79
جدول ۵-۱۳: مقایسه الگوریتم­ها برای مسائل J60 …………………………………………………………. 80
جدول ۵-۱۴: مقایسه الگوریتم­ها برای مسائل J120 ……………………………………………………….. 81
فصل نخست:
مقدمه
۱-۱ مقدمه
امروزه، جهانی شدن تجارت، تغییرات سریع تکنولوژیک، بازارهای شدید رقابتی و رایزنی فشرده و قدرتمندانه شرکتها سازمانها و بنگاههای اقتصادی را وادار به تغییر سیستم مدیریتی خود می­نماید، برای تطبیق و سازگاری با این تغییرات، مدیریت پروژه و پروژه محوری در مدیریت از اهمیت بالایی برای سازمانها برخوردار است. تولید کنندگان در بازار رقابتی امروز باید هزینه های تولید را تا حد امکان کاهش دهند تا بتوانند کالاهای خود را با قیمتی مناسب و قابل رقابت با دیگر رقبا به بازارها عرضه کنند. بنگاههای اقتصادی چاره­ای جز بالا بردن بهره­وری و انجام کارهای بیشتر و بهتر با صرف منابع و زمان کمتر ندارند. از همین جاست که مفاهیمی همچون پروژه، کنترل پروژه، زمانبندی پروژه و … مطرح شده ­اند.
دنیای ارتباطی امروز به کمک فناوری اطلاعات و اینترنت امکان مشارکت بیشتر بنگاههای اقتصادی را فراهم آورده است و این خود امکان تعریف پروژه هایی بزرگتر را تسهیل کرده­است. تاخیر در ساخت یا توزیع، گاهی به از دست رفتن یک بازار می­انجامد و از این روست که حداقل کردن زمان انجام پروژه­ ها در کنار کیفیت و قیمت اهمیت بیشتری می­یابد.
تاریخچه مدیریت پروژه در دنیای جدید به سالهای ابتدایی دهه ۱۹۰۰ میلادی باز می­گردد؛ هنری گانت با توسعه نمودار میله‏ای ابداعی خود آغازگر حرکت پرشتاب بعدی طی سالهای دهه ۱۹۵۰ و ۱۹۶۰ میلادی در پروژه‌های نظامی و هوافضای آمریکا و سپس انگلستان گردید. هرچند نام پرآوازه هنری گانت به عنوان پدر تکنیک‏های برنامه‌ریزی و کنترل پروژه در تاریخ ثبت گردیده است لیکن سالهای دهه ۱۹۵۰ و ۱۹۶۰ به عنوان سالهای آغازین رشد و توسعه مدیریت پروژه در دنیای معاصر شناخته می‌شود. این سال­ها سرآغاز تکوین و توسعه بسیاری از روش­ها و دانش­های مربوط به مدیریت پروژه است که سال­ها بعد توسط نرم‌افزارهای مختلف عملیاتی و در پروژه‌ها بکار گرفته شدند.
با توجه به همین مفاهیم، به دنبال طرح و زمانبندی برای انجام یک پروژه خواهیم بود که مسلما تاثیر به­سزایی در موفقیت پروژه و رسیدن به اهداف آن بازی خواهد کرد. این زمانبندی از طرفی باید با توجه به محدودیت­های منابع باشد و از طرف دیگر ممکن است به دلایل مختلف به دنبال حداقل کردن مدت زمان انجام پروژه باشیم و یا به دلایل اقتصادی به دنبال بیشینه کردن ارزش خالص فعلی پروژه باشیم.
یک پروژه مجموعه‌ای از فعالیت­هاست که برای دستیابی به منظور یا هدف خاصی انجام می‌گیرد. پروژه‌ها شامل فعالیت­هایی هستند که باید در تاریخ­های معین، با هزینه‌هایی معین و کیفیت تعیین‌شده‌ای به انجام رسند. بین این فعالیت­ها روابط پیش­نیازی برقرار است و روابط تقدم- تاخر بین آنها وجود دارد، به این معنی که برخی فعالیت­ها وابسته به برخی دیگر هستند و برای اجرای یک فعالیت باید فعالیت­های پیش­نیاز آن پایان یافته باشند یا حداقل تا مرحله لازم پیش رفته باشند. برنامه ریزی پروژه عبارت است از تعیین ترتیب زمانی یا برنامه زمانبندی جهت انجام فعالیت­های وابسته که تشکیل دهنده پروژه هستند. لازمه موفقیت هر پروژه، دستیابی توام به هر سه عامل زمان، هزینه و کیفیت معین است و خارج شدن هر یک از سه عامل مذکور از حدود تعیین شده، می‌تواند به انجام پروژه‌ای ناموفق و غیراقتصادی منجر شود. از فاکتورهای مهم موثر در زمان و هزینه پروژه منابع مورد استفاده در پروژه از قبیل پول و مواد اولیه و تجهیزات و نیروی انسانی است. برخی منابع تجدیدپذیر هستند یعنی مصرفی نیستند و بارها می­توان از آنها استفاده کرد مانند نیروی انسانی و برخی دیگر مانند مواد خام مصرفی هستند و تجدیدناپذیر می­باشند. معمولا این منابع محدود هستند و بین فعالیتها بصورت مشترک استفاده می­شوند که این خود باعث ایجاد محدودیتی دیگر در اجرای فعالیتها و زمانبندی پروژه می­ شود. یک فعالیت برای­ اجرای خود باید تمام منابعش مهیا باشد تا به فعالیت اختصاص یابد. گاهی می­توان یک فعالیت را می­توان با تخصیص بخشی از منابع مورد نیازش، شروع کرد ولی برای خاتمه آن باید همه منابع مورد نیازش تامین شود. در اینجا فرض براین است که در ابتدای شروع هر فعالیت از پروژه همه منابع مورد نیازش به آن فعالیت تخصیص داده شود و پس از اجرای فعالیت، منابع باقیمانده آزاد گردند. منابع مورد نظر نیز تجدیدشدنی هستند.
بطورکلی انجام پروژه به پنج فاز تقسیم می‌شود. فاز اول، تعربف پروژه است که بر چگونگی پیدایش دید نسبت به پروژه و تعیین اهداف تاکید دارد. در این فاز، برخی عناصر کلیدی مجزا گردهم ‌آمده و به تخمین اینکه پروژه چه‌چیز را باید ارائه‌دهد، می ­پردازد، فعالیتهای پروژه مشخص می­گردد و اهداف ‌کلی پروژه تعریف می­شوند. فاز دوم، برنامه‌ریزی پروژه است که شامل تعیین منابع ‌لازم برای انجام پروژه، برنامه‌ریزی، زمانبندی و تهیه‌ بودجه‌ پروژه است. در این مرحله اهداف به فعالیت‌های ملموس تبدیل می­گردند و گروه‌های کاری برای انجام این فعالیت­ها تشکیل می­ شود. در این مرحله است که محدوده پروژه واقعی می­ شود و توالی فعالیت­ها تعیین می­شوند و زمانبندی موقت انجام می­گیرد و برنامه تخصیص منابع به فعالیت­ها تهیه می­ شود. این تحقیق نیز در این فاز انجام می­گیرد و به زمانبندی پروژه با توجه به محدودیت منابع می ­پردازد و در تلاش است تا با بهره گرفتن از روش های بهینه سازی و الگوریتم­های فراابتکاری^[۱] بهترین توالی انجام فعالیتها را که کمترین زمان اجرا دارند را تعیین کند. فاز سوم، اجرای پروژه است که فعالیت‌های هماهنگ‌سازی و راهبری تیم ‌پروژه به‌سوی انجام موثر فعالیت‌های پروژه را شامل می­ شود. نامین منابع مورد نیاز مانند پول، نیروی‌انسانی، تجهیزات در این مرحله انجام می­گیرد. فاز چهارم، هدایت و کنترل پروژه است که در آن بر چگونگی انجام پروژه نظارت ‌می‌شود. مرحله سوم و چهارم همزمان انجام می­گیرند. تاکید این فاز بر روی چگونگی برخورد موثر مدیر با تاخیرات ناخواسته،‌ تخطی از سقف بودجه یا تغییر محدوده‌ پروژه است. ممکن است در این فاز پروژه دوباره برنامه ریزی و زمانبندی شود. آخرین فاز پروژه، بستن پروژه است؛ زمانی که بازتاب همه‌ فعالیت‌ها و تلاش‌های انجام‌شده را می‌توان ‌دید بی‌شک مهم‌ترین فاز پروژه ، بستن و اتمام آن است. فازهای دو تا چهار یعنی‌ برنامه‌ریزی، اجرا و کنترل در یک‌ چرخه قرار دارند؛ این به ‌دلیل ماهیت وابستگی درونی این فازها به‌ یکدیگر است. مثلا گاهی لازم ‌است تا برنامه‌ پروژه با توجه به تجربیات بدست‌آمده در حین اجرا، یا بواسطه‌ تغییرات پدیدآمده در طول پروژه، اصلاح شود و نتایج اصلاح مجددا برای اجرا ارسال‌ گردد.
زمانبندی پروژه در صنعت و کارخانجات و حمل و نقل و فروش و پرداخت و … استفاده می­گردد و کمتر سازمانی است که اهمیت آن را درک نکرده باشد. دسته­ای از مسائل برنامه­ ریزی پروژه که محدودیت­های منابع در آنها وجود ندارد یا در نظر گرفته نمی­ شود به مسائل برنامه ریزی پروژه بدون محدودیت منابع و آن دسته که دارای محدودیت منابع می­باشند و این محدودیت­ها در برنامه­ ریزی پروژه در نظر گرفته­می­شوند به مسائل برنامه­ ریزی پروژه با محدودیت منابع^[۲] معروفند. زمانبندی پروژه با در نظر گرفتن محدودیت منابع از جمله مسایل با ادبیات غنی در حوزه مسائل تحقیق در عملیات و مدیریت پروژه است. این مسئله با توجه به شرایط متفاوت کاربردی و صنعتی از نظر تابع هدف، خصوصیات فعالیت ها، منابع و روابط پیش نیازی بسیار متنوع اند و محققین همواره به دنبال ارائه راه حل های کاراتری برای حل این مسئله بوده ­اند. با توجه به اینکه در تمام سطوح پروژه با محدودیت منابع مواجه هستیم، لذا لزوم ایجاد و بکارگیری روش­هایی که انواع محدودیت­های منابع را در نظر بگیرند، مشخص است.
۱-۲ اهداف پژوهش
معمولا در مسئله زمانبندی پروژه با محدودیت منابع، هدف زمانبندی فعالیت­ها با توجه به روابط پیش­نیازی و محدودیت منابع در کمترین زمان می­باشد. در این تحقیق نیز، راه­حلی جدید برای مسئله زمانبندی پروژه با منابع محدود ارائه می­ شود که از الگوریتم بهینه­سازی مبتنی بر آموزش- یادگیری TLBO استفاده می­ شود. به علت کاربردهای عملی فراوان و همچنین پیچیدگیهای خاص، این مسئله بسیار مورد توجه محققین بوده است و در سالهای اخیر تحقیقات بسیاری بر روی آن صورت گرفته است. در این تحقیقات معیارهایی برای تشخیص و تعیین مطلوبیت یک زمانبندی برای پروژه­ های تحت بررسی بکار گرفته شده است. از جمله این معیارها نرخ موفقیت و میانگین زمان پردازش و میزان انحراف از پاسخ بهینه یا میزان انحراف از مسیر بحرانی پروژه است. در این پایان نامه معیارهای نرخ موفقیت و میزان انحراف از پاسخ بهینه یا میزان انحراف از مسیر بحرانی پروژه برای بررسی و مقایسه در نظر گرفته شده است. به علت اهمیت این مسئله محققین کتابخانه­ هایی از مسایل نمونه را ایجاد کرده ­اند و در اختیار کاوشگران قرار داده­اند. برای حل این مسئله بصورت دقیق با بهره گرفتن از مدلهای ریاضی تلاشهای زیادی انجام گرفته است که با بزرگ شدن اندازه مسئله یعنی افزایش تعداد فعالیت­ها و منابع این الگوریتم­ها موثر نیستند. در حالت­های با پیچیدگی زیاد از پاسخهای مسئله زمانبندی پروژه بدون محدودیت منابع کمک گرفته می­ شود و این پاسخها به عنوان حدپایین برای الگوریتم­ها در حل مسئله زمانبندی پروژه با محدودیت منابع در نظر گرفته می­شوند و مانند پاسخ بهینه نگریسته می­شوند. همچنین طول مسیر بحرانی پروژه در حالت بدون محدودیت منابع نیز عامل دیگری است که میزان انحراف پاسخ­های یافته شده در حالت محدودیت منابع از این مسیر بحرانی از فاکتورهای مطلوب بودن الگوریتم بکار گرفته شده است. در زمانبندی پروژه بدون در نظر گرفتن محدودیت منابع از روشهایی مانند CPM , PERT استفاده می­ شود. این روشها شبیه به هم هستند و تفاوتشان در زمان اجرای فعالیتهاست. هیچکدام از روش های مذکور محدودیت منابع را در نظر نمی­گیرند و به همین دلیل در حل مسئله زمانبندی پروژه با محدودیت منابع، قابل استفاده نیستند.
در سال­های اخیر الگوریتم­های فراابتکاری زیادی برای حل این مسئله پیشنهاد شده است. به علت پیچیدگی بالا، به دست آوردن جواب بهینه این مسئله با بهره گرفتن از روش­های سنتی بهینه­سازی، بسیار دشوار و یا حتی غیر ممکن است. بهینه­سازی ریاضی و محاسباتی در مسایل مهندسی با مقیاس بزرگ، سختی­های زیادی را با همراه دارد و زمان حل آنها در این مسائل به صورت نمایی افزایش می‌یابد. بهمین دلیل راه حل­های جایگزین و متناوب را بصورت مشارکتی ایجاد کرده ­اند. روش­های سنتی مانند برنامه­نویسی خطی، برنامه­نویسی پویا و … هستند که غالبا در این مسایل با شکست روبرو می شوند یا دارای پاسخهای بهینه محلی هستند. این مسایل دارای متغیرهای خیلی زیادی هستند و توابع هدف غیر خطی دارند. برای حل و پوشش این مسایل الگوریتم های فراابتکاری جدیدی ارائه شده اند که پاسخ­هایی نزدیک به جواب بهینه را جستجو می کنند. این الگوریتم­ها در دسته های مختلفی دسته بندی می­شوند که بستگی به معیار مورد نظر مانند مبتنی بر جمعیت، مبتنی بر تکرار و… دارند. در این پایان نامه الگوریتم فرا ابتکاری مبتنی بر آموزش- یادگیری یعنی ^[۳]TLBO برای حل این مسئله استفاده شده است. TLBO یکی از الگوریتم­های مبتنی بر جمعیت است که اخیرا معرفی شده است و فرایند آموزش و یادگیری در کلاس درس را شبیه­سازی می­ کند. همچنین برای جلوگیری از محلی شدن پاسخ­ها از رویکرد نخبه­گرایی در این الگوریتم استفاده شده­است.
الگوریتم مورد استفاده با بکارگیری عملیات فازهای خود به حل مسئله زمانبندی پروژه با محدودیت منابع می ­پردازد. به منظور بررسی کارایی الگوریتم و مقایسه آن با الگوریتم­های دیگری که به حل این مسئله پرداخته­اند، مسائل نمونه مختلف و شناخته شده­ای که در این حوزه تعریف شده ­اند، با الگوریتم پیشنهادی حل شده­است. نتایج به دست آمده با بهترین الگوریتم های موجود در ادبیات موضوع مقایسه شده­است. نتایج بدست آمده دلالت بر این دارد که الگوریتم مورد استفاده از کارایی مطلوب و قابل رقابتی در مقایسه با الگوریتم­های دیگر برخوردار است و نتیجه بهتری از بیشتر آنها دارد.
۱-۳ ساختار پژوهش
در این پژوهش در ادامه یعنی در فصل دوم، به معرفی مسئله زمانبندی پروژه با منابع محدود می­پردازیم و با فرمول ­های ریاضی آن را مدل می­کنیم. سپس در فصل سوم الگوریتم TLBO را بررسی می­کنیم. در فصل چهارم، رویکردهای سری و موازی و روش­های پسرو و پیشرو را برای زمانبندی اولیه با مثال تشریح می­کنیم. سپس الگوریتم TLBO با رویکرد نخبه­گرایانه را با مسئله زمانبندی پروژه با منابع محدود تطبیق می­دهیم و بوسیله برنامه­نویسی، مسئله را حل می­کنیم. در فصل پنجم، مسایل نمونه ­ای که با این الگوریتم حل شده ­اند توضیح داده شده ­اند. نتایج عددی بدست آمده را با توجه به پارامترهایی مانند اندازه جمعیت و حداکثر تعداد زمانبندی­ها بررسی می­نماییم. در پایان نیز نتایج بدست آمده با الگوریتم TLBO در حل مسئله زمانبندی پروژه با منابع محدود با دیگر الگوریتم­ها مقایسه می­گردد.
فصل دوم:
مروری بر ادبیات تحقیق و حل مسئله
۲-۱ مقدمه
دراین فصل از پایان نامه ادبیات موضوع را مشخص می­کنیم و به تعریف مسئله زمانبندی پروژه با محدودیت منابع (RCPSP) می­پردازیم. ابتدا زمانبندی پروژه را بررسی می­کنیم و سپس مسئله زمانبندی پروژه با محدودیت منابع را به تفصیل تعریف می­کنیم.
۲- ۲ زمانبندی پروژه
زمانبندی، یکی از مسائل مهم در مرحله برنامه­ ریزی پروژه است. زمانبندی پروژه عبارت است از تعیین زمان شروع هر یک از فعالیت های پروژه با توجه به محدودیت­ها و به منظور رسیدن به یک یا چند هدف مشخص می­باشد[۱]. گاهی برنامه ریزی پروژه با برنامه زمانبندی پروژه معادل گرفته می­شوند که این هم­ارزی دقیق نیست. زمانبندی پروژه با توالی فعالیتها، طول عملیات و روابط آنها سروکار دارد، در صورتیکه برنامه­ ریزی بستر بزرگتری بوده که برنامه زمانبندی جزیی از آن است. برنامه ریزی عبارت از تجهیز منابع و کلیه سیستم­های پروژه در جهت اجرای بموقع و طبق طرح و بودجه تعیین شده آن است. در این تحقیق زمانبندی پروژه بررسی می­گردد. مهمترین اهداف زمانبندی پروژه عبارتند از[۲]:

• • تعیین زمان شروع و پایان فعالیت­ها و مشخص کردن زمان پایان پروژه

• • تعیین میزان منابع در دسترس و منابع استفاده شده در هر لحظه از اجرای پروژه

• • ارزیابی تاثیر تغییر در ترتیب اجرای فعالیتها بر زمان تکمیل پروژه

• • تصمیم گیری و واکنش صحیح در مواردی که زمانبندی نشان می­دهد، زمان پایان پروژه دیر است.

• • ارزیابی زیان ناشی از دیرکرد تکمیل پروژه

• • تعیین جریان نقدینگی پروژه

فرض بر این است که پروژه در حدی بزرگ است که می­توان آن را به چند فعالیت تقسیم کرد و روابط پیش­نیازی بین فعالیتها برقرار است یعنی یک فعالیت زمانی شروع به اجرا می­ کند که فعالیت­های پیش­نیاز آن اجرا شده­باشند. در دنیای واقعی پروژه­ ها شامل صدها فعالیت هستند[۲]. با بهره گرفتن از گراف (شبکه) می­توان فعالیت­های پروژه و روابط پیش­نیازی آنها را نمایش داد. وزن هر یال زمان اجرای فعالیت انتهای یال را مشخص می­ کند. همچنین ممکن است هر فعالیت، محدودیتی به شکل زودترین زمان شروع یا دیرترین زمان پایان داشته باشد، یعنی این فعالیت باید در یک بازه زمانی مشخص انجام پذیرد. در مسائل زمانبندی در نظر گرفتن تمام محدودیت­هایی که برای اجرای فعالیت­ها وجود دارند الزامی است. تابع هدف نیز در زمانبندی مهم است. کمترین زمان اتمام پروژه، کمترین زمان تاخیر، کمترین تعداد فعالیتهایی که بعد از زمان تعیین شده به پایان می­رسند یا ترکیبی از این موارد، نمونه­هایی از تابع هدف هستند.
از مهمترین تکنیک­های زمانبندی که بطور گسترده استفاده شده است روش مسیر بحرانی (CPM)^[4] است. برنامه ­های کامپیوتری و الگوریتم­های زیادی برای زمانبندی به روش مسیر بحرانی موجود است. در این روش کمترین زمان تکمیل پروژه همراه با زمان های ممکن شروع و پایان فعالیت­های پروژه محاسبه می­­گردد. مسیر بحرانی، مجموعه­ یا ترتیبی از فعالیتهاست که بیشترین زمان اجرا را خواهند داشت. طول زمان مسیر بحرانی، مجموع مدت زمان­های اجرای فعالیت­های این مسیر است. مسیر بحرانی­ را می­توان بعنوان طولانی­ترین مسیر ممکن در شبکه فعالیت­های پروژه تعریف کرد. مدت زمان اجرای فعالیت­های مسیر بحرانی، حداقل زمان لازم برای تکمیل پروژه را مشخص می­ کند. هر تاخیری در مسیر بحرانی منجر به افزایش زمان تکمیل پروژه می­ شود[۲]. پروژه ممکن است چند مسیر بحرانی داشته باشد. در روش مسیر بحرانی محدودیت منابع را در نظر نمی­گیریم. این روش را در مسائل زمانبندی پروژه بدون محدودیت منابع می­توان بکار برد. در روش مسیر بحرانی طول زمان اجرای هر فعالیت از قبل مشخص و بصورت ثابت در نظر گرفته می­ شود، در حالیکه در بیشتر پروژه­ ها، اینگونه نیست. روش PERT ^[۵]روش دیگری است که مانند روش مسیر بحرانی است، با این تفاوت که طول زمان اجرای فعالیت­ها از قبل مشخص و ثابت نیست. در این روش کمترین مدت زمان و بیشترین مدت زمان انجام هر فعالیت تخمین زده می­ شود و زمان مورد انتظار محاسبه می­ شود. روش PERT یک روش احتمالی است. در این روش نیز محدودیت منابع در نظر گرفته نمی­ شود و مناسب مسائل زمانبندی پروژه بدون محدودیت منابع است. روش­های مذکور هر چند محدودیت منابع را رعایت نمی­کنند ولی به معنی بدون استفاده بودن آنها در حالت محدودیت منابع نیز نیستند. مشکل تخصیص منابع وقتی بوجود می ­آید که منابع مورد نیاز برای انجام هم‌زمان فعالیت‌های غیر وابسته را نتوان تامین کرد. در این وضعیت ناچاریم برخی فعالیت­ها را با تاخیر اجرا کنیم. بهتر است تاخیر را به فعالیت­هایی دهیم که در مسیر بحرانی نیستند. همچنین میزان انحراف از مسیر بحرانی از معیارهای سنجش الگوریتم­های زمانبندی است.
۲-۳ زمان بندی پروژه با منابع محدود
مسئله زمان بندی پروژه با منابع محدود، یک مسئله کاملا سخت^[۶] است و برای نخستین بار در سال ۱۹۶۳ مطرح شد. این مسئله یکی از پیچیده‌ترین مسائل تحقیق در عملیات است که در دهه‌ های اخیر پیشرفت­های قابل توجهی در تدوین روش­های حل دقیق و ابتکاری آن به وجود آمده و اخیرا روش­های جدید بهینه‌سازی در حل آن به کار گرفته شده ­اند. در این مسئله، پروژه به تعدادی فعالیت تجزیه می‌شود. این فعالیتها به لحاظ روابط منطقی متفاوتی که حاکم بر آنهاست با یکدیگر ارتباط پیدا می‌کنند و همچنین باعث ایجاد محدودیت­هایی می گردند. یک نوع از این روابط، رابطه تقدم- تاخر است؛ یعنی اجرای برخی فعالیت ها، وابسته به اجرای چند فعالیت دیگر در پروژه است. یعنی برخی فعالیتها پیش نیاز برخی دیگر هستند. در این صورت می­گوییم پروژه دارای محدودیتهای تقدمی است. اما علاوه بر این محدودیت­ها، ممکن است محدودیت­هایی تحت عنوان محدودیت­های منابع نیز در پروژه وجود داشته باشند. منظور از منابع مواردی مانند ماشین آلات و مواد اولیه و نیروی انسانی و پول و سرمایه و …است. این منابع غالباً به دو دسته تجدیدشدنی^[۷] و تجدیدنشدنی^[۸] تقسیم می‌شوند. منابع تجدید نشدنی مانند سرمایه را پس از استفاده دیگر نمی­ توان مجددا بکار برد ولی منابع تجدید شدنی مانند نیروی انسانی و ماشین­آلات قابل استفاده مجدد هستند. در این پایان نامه منابع تجدید­شدنی در نظر گرفته­شده ­اند. هر فعالیت پروژه می ­تواند در چندین حالت مختلف اجرا شود که اجرای هر حالت به منابع معینی نیاز دارد. بنابراین در برنامه­ ریزی پروژه علاوه بر اینکه باید به محدودیتهای تقدمی توجه داشت، برنامه ریزی باید به­گونه ­ای انجام گیرد که با محدودیت منابع نیز سازگار باشد. در چنین مسائلی برنامه ریزی عمدتا اجرای فعالیت­ها به صورت پیوسته در نظر گرفته می­ شود. آن دسته از مسائل برنامه­ ریزی پروژه که محدودیتهای منابع در آنها وجود ندارد یا در نظر گرفته نمی­ شود به مسائل برنامه ریزی پروژه بدون محدودیت منابع و آن دسته که دارای محدودیت منابع می­باشند و این محدودیتها در برنامه­ ریزی پروژه در نظر گرفته می­شوند به مسائل برنامه ریزی پروژه با محدودیت منابع معروفند. این مسئله بصورت­های مختلف و با فرضیات متفاوت بیان شده است. در برخی مسایل، فعالیت­ها برای اجرا یک حالت بیشتر ندارند که به آن­ها تک حالته^[۹] می­گویند و در برخی دیگر هر فعالیت چند سناریو برای اجرا دارد که به آن چندحالته^[۱۰] می­گویند. در برخی مسائل امکان قبضه کردن^[۱۱] وجود دارد یعنی می­توان اجرای یک فعالیت را متوقف کرد و فعالیت دیگر با اولویت بالاتر را اجرا کرد. در برخی مسائل حتی روابط پیش­نیازی نیز از ابتدا مشخص نیستند و در حین اجرا مشخص می­شوند، همچنین مدت زمان اجرای فعالیت­ها نیز در برخی مسائل قطعی و ثابت نیستند و درحین اجرای پروژه یا بصورت تصادفی تعیین می­شوند. در این پایان نامه مسئله زمانبندی با توجه به محدودیت منابع و تک حالته، بدون قبضه کردن، با روابط پیش­نیازی و مدت اجرای معین فعالیت­ها بررسی می­گردد.
مسئله زمان­بندی پروژه با منابع محدود، با توجه به شرایط متفاوت، به صورت­های مختلف مدلسازی می‌شود. در اینجا فرض می‌کنیم پروژه به صورت یک شبکه فعالیت است و مانند گراف G=(V, E) که در آنV مجموعه گره­ ها و بیانگر فعالیتهای پروژه و E مجموعه یال­ها و بیانگر روابط منطقی بین فعالیتهاست، تعریف شده باشد. مجموعه فعالیت­های پروژه را با N={0,1,2,…,n} نشان می­دهیم. فعالیت­ها از ۰ تا n شماره‌گذاری شده‌اند. فعالیتهای ۰ وn مجازی هستند و شروع و پایان پروژه را نشان می‌دهند. زوج مرتب (i,j) نشان دهنده این خاصیت است که فعالیت i پیش­نیاز فعالیت j می­باشد، یعنی فعالیت i قبل از اجرای فعالیت j باید حتما اجرا شده باشد. مجموعه این زوج مرتب­ها را با A نشان می­دهیم. مدت زمان اجرای فعالیت i را با d_i نشان می­دهیم. مجموعه همه منابع تجدید شدنی را با R نمایش می دهیم. در این مجموعه K منبع متفاوت وجود دارد. ظرفیت منبع i را با R_i مشخص می کنیم.
R_i ∈ ℝ⁺ ∪ {∞} ، این ظرفیت را در طول اجرای پروژه در هر واحد زمان می توان استفاده کرد. R_i=∞ یعنی منبع، ظرفیت نامحدود دارد و به هرمیزان قابل استفاده است. از آنجا که استفاده از هرواحد ظرفیت منبع دارای هزینه­ است، جهت کاهش هزینه باید استفاده از منابع را کمینه کنیم. میزان نیاز فعالیت i به منبع k ام را با r_ik مشخص می­کنیم. r_ik ∈ ℝ⁺، در زمان اجرای فعالیت i، میزان r_ik واحد از ظرفیت منبع k ام درگیر انجام فعالیت است که دیگر فعالیتها در زمان اجرای فعالیت i نمی ­توانند از آن استفاده کنند. r_ik = ۰ یعنی فعالیت i برای اجرا به منبع k ام نیاز ندارد. پس از اجرای کامل فعالیتi ، این میزان ظرفیت از منبع k ام آزاد می­گردد. زمان شروع فعالیت i را S_i در نظر می­گیریم. از آنجا که هر فعالیت بطور پیوسته اجرا می­گردد، زمان پایان فعالیت i، برابر با S_i+ d_i می­باشد. بنابراین می­توان گفت، فعالیت i در بازه[S_i , S_i+ d_i] اجرا می­ شود. میزان نیاز هر فعالیت به هر منبع از کل ظرفیت آن نباید تجاوز کند. یعنی برای همه فعالیت­ها و منابع رابطه زیر برقرار است:
r_ik ≤ R_k i ∈ N , k=1,2,…,K (2-1)