از آنجا که انرژی کرنشی هر المان، به عنوان خروجی نرم افزار المان محدود در اختیار کاربر قرار داده می شود، بنابراین با انتخاب روش انرژی کرنشی، نیاز به محاسبه حساسیت المانها به طور مجزا نداریم و این امر مزیتی بسیار مهم به شمار میرود.
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))
۴-۶ تعیین توپولوژی سلول پایه
به منظور تعیین توپولوژی سلول پایه از روش بهینهسازی تکاملی دوجهته–مرگ نرم، استفاده میکنیم. مطابق این روش، همزمان با اضافه کردن المانها در نواحی بحرانی، میتوانیم با حذف المانهای زاید یا پوچ در نواحی غیربحرانی به طرح بهینه دست یابیم. در این روش بهمنظور حذف مشکلاتی نظیر شطرنجی شدن و یا وابستگی پاسخ ها به اندازه مش، که عمدتا در مسایل بهینه سازی توپولوژی وجود دارد راهکاری ارائه شده است. بدین نحو که با بهره گرفتن از فاکتور وزن خطی، که وابسته به فاصله المانها از یکدیگر است، حساسیت بهبود یافتهای برای المانها مطابق رابطه (۳-۴)، بهدست می آید. همچنین بهمنظور همگرایی پاسخها مطابق رابطه (۳-۵) از متوسط حساسیت بهبود یافته و حساسیت مرحله قبلی استفاده میکنیم. معیار پوچی را نیز با توجه به حجم سلول پایه و مطابق رابطه (۳-۶) محاسبه میکنیم. پس از محاسبه معیار پوچی، تعیین المانهای مادی و پوچ مرحله بعد کار پیچیدهای به نظر نمیرسد. زیرا المانهایی با حساسیت کمتر از معیار پوچی تبدیل به المانهای پوچ و المانهایی با حساسیت بیشتر از آن، تبدیل به المانهای مادی میشوند. مراحل ذکر شده را تا زمانی ادامه میدهیم که قید حجمی ارضا شود و همزمان تغییرات تابع هدف در مراحل پایانی به حد کافی کوچک باشد. بنابراین به طور خلاصه مراحل طراحی سلول پایه بدین شرح است:
مرحله اول : انتخاب پارامترهای بهینهسازی، از قبیل قید حجمی، نرخ تکامل و شعاع فیلتر.
مرحله دوم : اعمال آنالیز المان محدود.
مرحله سوم : تعیین خواص موثر الاستیک سلول پایه با کمک روش انرژی کرنشی.
مرحله چهارم : تعیین حساسیت المانها با کمک رابطه (۴-۶).
مرحله پنجم : اعمال فیلتر حساسیت و تعیین حساسیت بهبود یافته المانها با بهره گرفتن از رابطه (۳-۴).
مرحله ششم : بهکارگیری متوسط حساسیت المانها طبق رابطه (۳-۵).
مرحله هفتم : تعیین معیار پوچی برای تشخیص المانهای مادی و پوچ مرحله بعد با کمک قید حجمی و رابطه (۳-۶).
مرحله هشتم : تکرار مراحل فوق، تا زمانی که قید حجمی و معیار همگرایی طبق رابطه (۳-۷) ارضا شوند.
پس از پایان بهینهسازی توپولوژی، به منظور اطمینان از صحت نتایج حاصل شده، پاسخها را با باندهای تحلیلی شناخته شده مدول حجمی مقایسه میکنیم، به این منظور باند معروف هاشین و اشتریکمن[۸۸] را انتخاب میکنیم]۵۲[. بر این اساس برای موادمرکب متشکل از فاز پوچ و فاز جامد مدول حجمی حداکثر از روابط زیر به دست می آید]۵۵[:
(۴-۷)
(۴-۸)
در روابط فوق ، کسر حجمی فاز جامد است و ، مدول حجمی فاز جامد و نیز مدول برشی فاز جامد است. همچنین ، باند بالای مدول حجمی است.
۴-۷ مدلسازی
۴-۷-۱ مقدمه
در این بخش به حل مثالهایی از مباحث ذکر شده میپردازیم. بدین منظور در ابتدا باید مشخصات هندسی و مشخصات مکانیکی سلول پایه را تعیین کنیم. انتخاب این مشخصات باید به گونه ای باشند که حتی الامکان محاسبات ساده تر شوند و همچنین بهتر است با توجه به مقالات مشابه انتخاب شوند تا بتوان مقایسه خوبی با نتایج مشابه داشت. تمامی مدلسازیها در نرم افزار آباکوس انجام شده و کد مربوط به روش انرژی کرنشی و روش بهینهسازی تکاملی دوجهته نیز با بهره گرفتن از زبان برنامه نویسی پایتون نوشته شده است.
۴-۷-۲ مدل دوبعدی
در ابتدا هدف ما دستیابی به شکلی از سلول پایه است که حداکثر مدول حجمی را داشته باشد، به منظور دستیابی به چنین شکلی، سلول پایهای مربعی، با ابعاد ۴/۰۴/۰ را در نظر میگیریم. سپس سلول پایه را به ۴۰ ۴۰ المان مربعی تنش صفحهای تقسیم میکنیم. سلول پایه شامل دوفاز است. یکی فاز جامد یا مادی و دیگری فاز پوچ، مشخصات هندسی و مکانیکی این دوفاز در جدول(۴-۳) آورده شده است.
طرح اولیه را مطابق شکل (۴-۲) سلول پایهای، تماما شامل فاز جامد به جز چهار المان در گوشهها که پوچ شده اند، در نظر میگیریم.
شکل ۴- ۲- مدل اولیه برای شروع بهینهسازی بهمنظور حداکثرسازی مدول حجمی.
اگر طرح اولیه را تماما شامل فاز مادی در نظر بگیریم، در تعیین المانهای پوچ مراحل بعد دچار مشکل میشویم. زیرا به دلیل تقارن، حساسیت بخش زیادی از المانها یکسان میشوند و در نتیجه ممکن است در یک مرحله تعداد زیادی از المانها تبدیل به المانهای پوچ شوند.
برای آغاز بهینهسازی توپولوژی در گام نخست باید پارامترهای طراحی را تعریف کنیم. نخستین پارامتر قید حجمی است. در اینجا بهمنظور بررسی بهتر نتایج، دو قید حجمی %۳۰ و %۱۰ را در نظر میگیریم. دومین پارامتر، شعاع فیلتر است. شعاع فیلتر باید ناحیهای باشد که بیش از یک المان را در برگیرد. با توجه به مشخصات هندسی سلول پایه، شعاع فیلتر را ۳ سانتیمتر در نظر میگیریم. به عبارتی هر المان با در نظر گرفتن حساسیت المانهایی که در دایرهای به شعاع ۳، و مرکزیت خود المان قرار دارند، تعیین حساسیت می شود. ناحیهای که دایرهی مذکور تشکیل میدهد در شکل (۴-۳) با رنگ روشن نشان داده شده است. پارامتر سوم طراحی، نرخ تکامل است. نرخ تکامل در واقع تعیینکننده آن است که هر بار چه کسری از المانها از سلول پایه تبدیل به المانهای پوچ شوند. مقدار نرخ تکامل را ۰۱۲۵/۰ در نظر میگیریم. این بدان معنی است که اگر مثلا ۰۰۰,۱۰ المان مادی، در سلول پایه وجود داشته باشد، در انتهای این مرحله ۱۲۵ المان پوچ میشوند. از دیگر پارامترهای طراحی توان پنالتی است. توان پنالتی برای اختصاص دادن چگالی محلی به المانها تعریف می شود و با توجه به اینکه پیشتر ذکر شد این مقدار عدد ۳ انتخاب می شود، لذا مطابق رابطه (۲-۳)، مدول یانگ فاز پوچ را برابر مدول یانگ فاز مادی در نظر میگیریم. به عبارتی در روش مرگ نرم با کم کردن مقدار مدول یانگ، به جای حذف کامل آن، آنرا ضعیف میکنیم (ازحالت جامد به حالت خمیری در میآوریم اما آنرا بطور کامل حذف نمیکنیم). مقادیر این پارامترها به طور خلاصه در جدول(۴-۳) ،آورده شده اند.
شکل ۴- ۳- شعاع فیلتر، دایرهای به مرکزیت المان اُم و شعاع فیلتر
جدول ۴- ۳- مشخصات مدل اولیه برای حداکثرسازی مدول حجمی درحالت دوبعدی
مدول حجمی در حالت دوبعدی بر حسب مولفههای ماتریس الاستیک بیان می شود و مقدار آن نیز از رابطه (۴-۲-الف) به دست می آید. اگر این رابطه را سادهتر بنویسیم به رابطه (۴-۹) میرسیم]۵۶[.
(۴-۹)
با توجه به رابطه (۴-۹) و کمک گرفتن از رابطه (۴-۶)، برای طراحی سلول پایه بر اساس حداکثر مدول حجمی، حساسیت هر المان، یعنی ، در حالت دوبعدی از رابطه زیر به دست می آید.
(۴-۱۰)
در رابطه فوق، و انرژی کرنشی المان اُم به ترتیب تحت شرایط مرزی ۱۰ و ۱۱ هستند. برای محاسبه ، از جدول(۳-۲)، مولفه ، را در نظر میگیریم. این مولفه برابر است با :
(۴-۱۱)
در رابطه فوق ، انرژی کرنشی مجموع المانها تحت شراط مرزی ۱۲ است. همچنین مقدار ، علاوه بر شرط مرزی ۱۲، به شرایط مرزی ۱۰ و ۱۱ نیز وابسته هست.
بنابراین اگر را انرژی کرنشی المان اُم، تحت شرط مرزی ۱۲ در نظر بگیریم، در آن صورت ، از رابطه زیر به دست می آید:
(۴-۱۲)
حال با توجه به پارامترهای انتخاب شده بهینهسازی توپولوژی را انجام میدهیم. پس از انجام بهینهسازی توپولوژی، شکل نهایی سلول پایه و ماتریس موثر الاستیک آن، برای حالت مدول حجمی حداکثر، و برای دو کسر حجمی %۳۰ و %۱۰، به ترتیب در شکلهای (۴-۴-الف) و (۴-۴-ب)، نشان داده شده است.
شکل ۴- ۴- سلول پایه با حداکثر مدول حجمی به همراه ماتریس الاستیک، (الف) برای کسر حجمی %۳۰ ، (ب) برای کسر حجمی %۱۰ .
تشابه اشکال نهایی در دو کسر حجمی مختلف، بیانگر همگرا شدن پاسخها در حالت حداکثرسازی مدول حجمی است. با توجه به پارامترهای انتخاب شده از جدول(۴-۳)، باند بالای مدول حجمی برای دو کسر حجمی %۳۰ و %۱۰، به ترتیب برابر ۰۹۱/۰ و ۰۲۶۷/۰ گیگا پاسکال از رابطه (۳-۸) محاسبه میشوند، از آنجایی که مدول حجمی طرح نهایی با توجه به ماتریس الاستیک حاصل شده و مطابق رابطه (۴-۲-الف)، برابر ۰۹/۰ و ۰۲۶۵/۰گیگا پاسکال میگردند، لذا پاسخها از لحاظ عددی مطابقت مناسبی با باند هاشین دارد. پاسخهای فوق پس از حدود هفتاد و پنج تکرار به دست آمدهاند. با توجه به اینکه کسر حجمی فاز جامد در هر مرحله به کمک نرخ تکامل کاهش مییابد. نمودار تغییرات کسر حجمی و مدول حجمی در هر مرحله در شکل (۴-۵) آورده شده است.
شکل ۴- ۵- نمودار تغییرات کسر حجمی و مدول حجمی در هر مرحله برای دستیابی به کسر حجمی %۱۰.
همانطور که در نمودار ملاحظه میکنید، در هر تکرار کسر حجمی کاهش مییابد تا به مقدار مورد نظر، یعنی %۱۰ برسد، پس از آن باید تکرارها را ادامه دهیم تا این بار تغییرات تابع هدف یعنی مدول حجمی مطابق رابطه (۳-۷) به مقدار بسیار ناچیزی حدود ، برسد. بنابراین همانطور که در نمودار ملاحظه می شود پس از آنکه قید حجمی در تکرار شماره ۶۷ ارضا شد، تکرارها را ادامه پیدا کرد تا اینکه درتکرار شماره ۷۵، تغییرات مدول حجمی در ده تکرار آخر به مقدار ، رسید.
برای ارائه پاسخهای کلیتر، چند سلول پایه از شکل (۴-۴) را در کنار هم قرار میدهیم، تا در نهایت به شکل(۴-۶) برسیم و شکل نهایی سلول پایه را در مقیاس بزرگتر به دست آوریم.
شکل ۴- ۶- مجموعه ای از سلولهای پایه با حداکثر مدول حجمی، (الف) برای کسر حجمی %۳۰، (ب) برای کسر حجمی %۱۰.
شکل (۴-۶-الف) مشابه شکل (۴-۷) است، این شکل را پیشتر، زی و هوانگ، با پارامترهای انتخابی مشابه جدول(۴-۳) و با اعمال تئوری همگنسازی جهت تعیین ماتریس الاستیک و به کارگیری روش بهینهسازی تکاملی دوجهته، برای دستیابی به مدول حجمی حداکثر برای کسر حجمی %۳۰ به دست آورده بودند]۵۵[. اما برتری روش استفاده شده در این مقاله، آنست که، به دور از محاسبات پیچیده تئوری همگنسازی و تنها با اعمال چند شرط مرزی ساده به نتایج مورد نظر رسیدیم. علاوه بر آن، آنالیز حساسیتی که مطابق با روش انرژی کرنشی انجام شده است بسیار سادهتر از آنالیز حساسیت در تئوری همگنسازی است.
شکل ۴- ۷- سلول پایه با حداکثر مدول حجمی و کسر حجمی %۳۰، از مقاله زی و هوانگ]۵۶[.
حال به دنبال دستیابی به شکلی از سلول پایه با حداکثر مدول برشی هستیم، بهمنظور دستیابی به چنین طرحی، این بار سلول پایه مربعی با ابعاد (۸/۰۸/۰) را به ۸۰ ۸۰ المان مربعی تنش صفحهای تقسیم بندی میکنیم. طرح اولیه را مطابق شکل (۴-۸)، سلول پایهای تماما شامل فاز جامد به جز چهار المان در گوشه ها که پوچ شده اند در نظر میگیریم.
شکل ۴- ۸- مدل اولیه برای شروع بهینهسازی به منظور حداکثرسازی مدول برشی.
دلیل پوچ کردن عمدی چند المان در ابتدا، جلوگیری از حذف همزمان بخش زیادی از المانها در مراحل ابتدایی است. زیرا که با توجه به شرایط مرزی متقارن حساسیت بخش زیادی از المانها یکسان می شود. خواص مکانیکی مدل و پارامترهای بهینهسازی نیز مطابق جدول(۴-۴) انتخاب میشوند.
جدول ۴- ۴- مشخصات مدل اولیه برای حداکثر سازی مدول برشی درحالت دو بعدی
برای حداکثرسازی مدول برشی، حساسیت هر المان از رابطه (۴-۵) محاسبه می شود. بهینهسازی توپولوژی را با هدف حداکثر سازی مدول برشی و با توجه به پارامترهای انتخاب شده در جدول(۴-۴)، انجام میدهیم. برای دو کسر حجمی%۳۰ و %۲۰، شکل نهایی سلول پایه و ماتریس موثر الاستیک، به ترتیب مطابق شکلهای (۴-۹-الف) و (۴-۹-ب) به دست میآیند.
شکل ۴- ۹- سلول پایه با حداکثر مدول برشی به همراه ماتریس الاستیک موثر (الف) برای کسر حجمی %۳۰ (ب) برای کسر حجمی %۲۰ .
بار دیگر تشابه پاسخها، نمایانگر همگرا شدن آنهاست. پاسخهایی را که در شکل (۴-۹) ملاحظه میکنید، پس از سی و هشت تکرار حاصل شده اند. نمودار تغییرات مدول برشی در هر تکرار و همچنین تغییر در کسر حجمی سلول پایه، برای رسیدن به کسر حجمی %۲۰، در شکل (۴-۱۰)، نشان داده شده است.
شکل ۴- ۱۰- نمودار تغییرات کسر حجمی و مدول برشی در هر مرحله برای دستیابی به کسر حجمی %۲۰.
بار دیگر در نمودار مشاهده میکنید که پس از هر تکرار کسر حجمی کاهش مییابد. این کاهش تا رسیدن به کسر حجمی %۲۰، ادامه مییابد. همچنین طبق این نمودار در هر تکرار مدول برشی نیز با کاهش کسر حجمی کاهش مییابد، پس از اینکه قید حجمی به مقدار %۲۰ رسید، تکرارها تا زمانی که تغییرات مدول برشی به مقدار کمتر از برسد، ادامه مییابد.
زی و هوانگ، با اعمال تئوری همگنسازی جهت تعیین ماتریس الاستیک و استفاده از روش بهینهسازی تکاملی دوجهته، برای دستیابی به حداکثر مدول برشی، به اشکالی مشابه شکلهای (۴-۹)، دست یافته بودند]۵۶[. بنابراین میتوانیم با مقایسه نتایج، از صحت مراحل انجام شده، اطمینان یابیم. مدل نهاییای که زی و هوآنگ بدین منظور به دست آورده بودند، در شکل (۴-۱۱) ملاحظه میکنید. این مدل برای کسر حجمی %۳۵، به دست آمده و بسیار مشابه شکل(۴-۹-الف) است.
شکل ۴- ۱۱- سلول پایه با حداکثر مدول برشی و کسر حجمی۳۵%، از مقاله زی و هوانگ]۵۵[.
بنابراین با بهکارگیری بهینهسازی توپولوژی، میتوانیم شکل سلول پایه را طوری طراحی کنیم که مدول حجمی یا مدول برشی آن حداکثر گردد. برای آنکه بدانیم، بهینهسازی انجام شده، تا چه میزان می تواند موجب بهبود مقادیر مدول حجمی یا مدول برشی گردد، نمونههایی از شکلهای متداول برای سلول پایه را در نظر میگیریم. همچنین برای مقایسه بهتر، خواص مکانیکی نمونهها را مشابه جدول(۴-۴) انتخاب میکنیم، سلولها را طوری انتخاب میکنیم که کسر حجمی فاز مادی در آنها %۳۰ باشد. ماتریس الاستیک، مدول حجمی و مدول برشی این سلولها را با بهره گرفتن از روش انرژی کرنشی تعیین میکنیم. اگر مقادیر حاصل شده از بهینهسازی توپولوژی با کسر حجمی %۳۰، یعنی مدول حجمی شکل (۴-۴-الف) و مدول برشی شکل (۴-۹-الف) را به ترتیب و بنامیم، در آن صورت میتوانیم با مقایسه و ، با مدول حجمی و مدول برشی نمونههای در نظر گرفته شده، بفهمیم که بهینهسازی توپولوژی تا چه میزان باعث بهبود این خواص شده است. این مقایسهها به طور خلاصه در جدول(۴-۵)، نشان داده شده است. با توجه به این جدول میتوان به این نتیجه رسید که با تعیین شکل بهینه سلول پایه به کمک بهینهسازی توپولوژی، مقادیر مدول حجمی و مدول برشی تا میزان زیادی بهبود یافته اند.
جدول ۴- ۵-مقایسه مدول حجمی و مدول برشی چند سلول پایه با کسر حجمی %۳۰.
۴-۷-۳ مدل سهبعدی
[سه شنبه 1401-04-14] [ 01:41:00 ق.ظ ]
|